Cho đường tròn tâm O và một điểm A ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC, D là trung điểm của AC, tía BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.
1) Chứng minh CDEH là một tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng \(D{A^2} = DE.DB\)
3) Gọi F là giao điểm thứ hai của AE với đường tròn (O). Chứng minh OC là đường trung trực của đoạn thẳng BF.
Cho đường tròn tâm O và một điểm A ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC, D là trung điểm của AC, tía BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.
1) Chứng minh CDEH là một tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng \(D{A^2} = DE.DB\)
3) Gọi F là giao điểm thứ hai của AE với đường tròn (O). Chứng minh OC là đường trung trực của đoạn thẳng BF.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1) Chứng minh CDEH là một tứ giác nội tiếp.
Ta có
· \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
· \(OB = OC\;\)(bán kính (O)) nên AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
· \(\Delta ABC\) có D là trung điểm AC, H là trung điểm BC nên HD là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra \(HD//AB\).
Khi đó \(\widehat {HDE} = \widehat {ABE} = \widehat {BCE} = \widehat {HCE} = \frac{1}{2}\;sd\;\widehat {BE}\)
Do đó, tứ giác CDEH nội tiếp.
2) Chứng minh rằng \(D{A^2} = DE.DB\)
Xét \(\Delta DCE\) và \(\Delta DBC\) ta có
\(\widehat {EDC}\;\) chung
\(\widehat {DCE} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\;sd\;\widehat {BE}\)
Suy ra (g-g)
Do đó \(\frac{{{\rm{DC}}}}{{{\rm{DB}}}} = \frac{{{\rm{DE}}}}{{{\rm{DC}}}}.\) Suy ra \(D{C^2} = DE.DB\)
Mặt khác, do \(DA = DC\) nên \(D{A^2} = DE.DB\)
3) Gọi F là giao điểm thứ hai của AE với đường tròn (O). Chứng minh OC là đường trung trực của đoạn thẳng BF.
· Từ \(D{A^2} = DE.DB\) nên ta có \(\frac{{DA}}{{DE}} = \frac{{DB}}{{DA}}\)
· Xét hai tam giác \(DAE\) và tam giác \(DBA\) có
+) \(\widehat {EDA}\;\) chung;
+) \(\frac{{DA}}{{DE}} = \frac{{DB}}{{DA}}\)
Do đó
· Suy ra \(\widehat {EAD\;} = \widehat {DBA} = \widehat {DFA} = \frac{1}{2}sd\widehat {BE}\), do đó \(BF//AC.\)
· Mà \(OC \bot AC\) nên \(OC \bot BF\).
· Mặt khác, \(OF = OB\) (bán kính của (O)) nên OC là đường trung trực của đoạn thẳng BF.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai số \(p,q\) là bội của 3
· Giả sử trong hai số \(p,q\) không có số nào chia hết cho 3.
· Khi đó \({p^2},\;{q^2}\) chia 3 dư 1. Suy ra:
+) \({p^2} + {q^2}\;\) chia 3 dư 2;
+) Trong khi vế phải \(2\left( {3pq - 4} \right) = 6pq - 9 + 1\) chia 3 dư 1, vô lý
· Do đó tromg hai số \(p,q\) phải có ít nhất một số là bội của 3.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {p,q} \right)\) thỏa (*)
· Do vai trò của \(p,q\) như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử \(q\) là bội của 3.
· Do \(q\) nguyên tố nên \(q = 3\)
· Khi đó từ (*) ta có \({p^2} + 9 = 2\left( {2p - 4} \right) \Leftrightarrow {p^2} - 18p + 17 = 0 \Leftrightarrow p = 1\) hoặc \(p = 17\)
· Do \(p\) nguyên tố nên \(p = 17.\)
Vậy các cặp số \(\left( {p;q} \right)\) thỏa mãn (*) là \(\left( {p;q} \right) \in \left\{ {\left( {17;3} \right);\left( {3;17} \right)} \right\}.\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1)Ta có:
\(x = \;\sqrt {\frac{2}{{4 - \sqrt {15} }}} - \frac{4}{{\sqrt 5 - 1}}\)\( = \sqrt {8 + 2\sqrt {15} } - \frac{{4\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}\)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \left( {\sqrt 5 + 1} \right)\)
\( = \sqrt 5 + \sqrt 3 - \sqrt 5 - 1 = \sqrt 3 - 1\)
Suy ra \({\left( {x + 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 2\)
Do đó \(P = {\left( {{x^2} + 2x + 2021} \right)^{2024}} = {2023^{2024}}.\)
2) Giải phương trình \(2{x^2} + 2x - 1 = 3x\sqrt {2x - 1} .\)
2)Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{2}.\)
Đặt \(t = \sqrt {2x - 1} \ge 0\), phương trình đã cho trở thành
\(2{x^2} + {t^2} = 3xt \Leftrightarrow {t^2} - 3xt + 2{x^2} = 0\; \Leftrightarrow \left( {t - x} \right)\left( {t - 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = x}\\{t = 2x}\end{array}} \right.\)
Với \(t = x,\;x \ge \frac{1}{2}\) nên \(\sqrt {2x - 1} = x \Leftrightarrow 2x - 1 = {x^2} \Leftrightarrow x = 1.\)
Với \(t = 2x,\;x \ge \frac{1}{2}\) nên \(\sqrt {2x - 1} = 2x \Leftrightarrow 2x - 1 = 4{x^2} \Leftrightarrow 4{x^2} - 2x + 1 = 0,\) phương trình vô nghiệm do \(\Delta ' < 0\)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ 1 \right\}.\)
3)Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta được
\({x^3} - {y^3} = - x + y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) + x - y = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = y\) do \({x^2} + xy + {y^2} + 1 = {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} + 1 > 0,\;\forall x,y\)
Thay \(y = x\;\) vào phương trình (1), ta được \(3{x^3} = 6x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\;\;\;\;\;\;}\\{x = \pm \sqrt 2 .}\end{array}} \right.\)
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(S = \left\{ {\left( {0;} \right);(\sqrt 2 ;\sqrt 2 ;( - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right\}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập