a) Cho a, b là các số thực không âm, c là số  thực dương thỏa mãn đẳng thức

                 \(\sqrt a  - \sqrt {a + b - c}  = \sqrt b  + \sqrt c \)

Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{a + b - c}}\)

b) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho số \(\frac{{\sqrt 3  + \sqrt a }}{{\sqrt 5  + \sqrt b }}\) là số hữu tỷ.

a) Bằng các phép biến đổi biểu thức kết hợp với a, b không âm và c thực dương, ta có:

            \(\sqrt a - \sqrt {a + b - c} = \sqrt b + \sqrt c \)

\(\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \sqrt a - \sqrt b = \sqrt c + \sqrt {a + b - c} \)

      \( \Leftrightarrow a + b - 2\sqrt {ab} = a + b + 2\sqrt {c\left( {a + b - c} \right)} \)

      \( \Leftrightarrow \sqrt {ab} + \sqrt {c\left( {a + b - c} \right)} = 0\)

      \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab = 0}\\{\left( {a + b - c} \right) = 0}\end{array}} \right.\)    (*)

Ta cần chứng minh

       \(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{a + b - c}}\)

Ta biến đổi tương đương đẳng thức này kết hợp với a, b không âm và c thực dương, ta có:

        \(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{a + b - c}}\)

     \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{{a + b - c}}\)

     \( \Leftrightarrow a + b + 3\left( {\sqrt[3]{{{a^2}b}} + \sqrt[3]{{a{b^2}}}} \right) = a + b + 3\left( {\sqrt[3]{{{c^2}\left( {a + b - c} \right)}} + \sqrt[3]{{c{{(a + b - c)}^2}}}} \right)\)

     \( \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{{a^2}b}} + \sqrt[3]{{a{b^2}}}} \right) = \left( {\sqrt[3]{{{c^2}\left( {a + b - c} \right)}} + \sqrt[3]{{c{{(a + b - c)}^2}}}} \right)\)

  Đẳng thức cuối đúng với điều kiện (*) nên đẳng thức đầu đúng. Bài toán được chứng minh.

b) Lấy $\alpha \in \mathrm{\mathbb{Q}}$ sao cho

Viết lại phương trình dưới dạng

Bình phương 2 vế ta có:
\(a + {\alpha ^2}b - 2\alpha \sqrt {ab} = 5{\alpha ^2} - 2\alpha \sqrt {15} \)

Từ đó suy ra

                    \(\sqrt {ab} - \sqrt {15} = \beta \in \mathbb{Q}\)

Bình phương 2 vế đẳng thức \(\sqrt {ab} - \sqrt {15} + \beta \) ta được

                    \(ab = 15 + {\beta ^2} + 2\beta \sqrt {15} \)

                    \( \Leftrightarrow 2\beta \sqrt {15} = ab - 15 - {\beta ^2}\)

Đẳng thức cuối xảy ra khi và chỉ khi \(\beta \) = 0 tức là ab = 15 . Xét tất cả khả năng có thể xảy ra, ta được.

·        a = 1 , b = 15 tức là \(\alpha = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 5 + \sqrt {15} }} = \frac{1}{{\sqrt {5\;} }}\;\)là1 số vô tỷ.

·        a = 3, b = 5 tức là \(\alpha = \frac{{2\sqrt 3 }}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {5\;} }}\;\;\)là 1 số vô tỷ.

·        a = 5, b = 3 tức là \(\alpha = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }} = 1\) là 1 số hữu tỷ.

·        a = 15 , b = 1 , tức là \(\alpha = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt {15} }}{{\sqrt 5 + 1}} = \sqrt 3 \), 1 số vô tỷ.

        Vậy tất cả các cặp (a,b) thỏa mãn là a = 5 b = 3 .

Các bạn có thể tham khảo bài toán gốc của câu 26) như sau. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho số

                                 \(\frac{{\sqrt 2 + \sqrt a }}{{\sqrt 3 + \sqrt b }}\)

là số hữu tỷ.