Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại các điểm D, E, G.Hai đường thẳng \(DE,DG\)lần lượt cắt đường phân giác ngoài góc \(BAC\)tại \(M,N\) Hai đường thẳng MG, NE cắt nhau tại điểm P. Chứng minh rằng:

        a) EG song song với MN.

        b) Điểm P thuộc đường tròn (I).

1) Gọi 4 số nguyên liên tiếp bất kỳ là a, a + 1 , a + 2 a + 3 với a in mathbb Z Ta có các biến đổi:

  \(a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)\left( {a + 3} \right) + 1 = \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right) + 1\)

                                                                 \( = {({a^2} + 3a)^2} + 2\left( {{a^2} + 3a} \right) + 1\)

                                                                 \( = {({a^2} + 3a + 1)^2}\)        

     Vì\(\;\;\;{({a^2} + 3a + 1)^2}\) là một số chính phương nên bài toán được chứng minh.

2) Bằng các phép biến đổi ta được hệ phương trình sau

           \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2xy - x = 10}\\{x + y + xy = 12}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\)     \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {2y - 1} \right) = 10}\\{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 12}\end{array}\;\;\;\;\;\left( 1 \right)} \right.\)

    Vì 2, y nguyên nên x , 2y - 1 nguyên do đó 2y - 1 là ước lẻ của 10. Ta xét các trường hợp sau.

·        2y - 1 = 1 suy ra y = 1 và x = 10 thay vào (1) không thỏa mãn.

·        2y - 1 = - 1 suy ra y = 0 và x = - 10 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn.

·        2y - 1 = 5 suy ra y = 3 và x = 2 thay vào (1) ta thấy thỏa mãn.

·        2y - 1 = - 5 suy ra y = - 2 và x = - 2 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn.

        Vậy cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn duy nhất là (x, y) = (2, 3) .

Cách 1. Đánh số vào các hình lục giác như hình vẽ.

Ta xét một hình lục giác được điền số \({a_i}\;\;\)thì \({a_i} \equiv {b_i}\) (mod 2) trong đó \({b_i}\)  là tổng các số được điền trong các hình lục giác chung cạnh với hình lục giác đang xét. Do đó, khi đổi màu theo đề bài thì số dư trong phép chia cho 2 của tổng các số trong các hình lục giác tô đen luôn không đổi.

Đối với hình 1 thì số dư này bằng 1, còn đối với hình 2 thì số dư này bằng 0 nên không thể có cách đổi màu nào biến hình 1 thành hình 2.

Cách 2.

Xét các ô 2,3,5,6. Mỗi bước ta đổi màu hai hoặc cả bốn ô đó nên số ô đen không thay đổi tính chẵn, lẻ. Ban đầu trong bốn ô nói trên có hai ô đen nên không thể có trạng thái trong bốn ô đó có đúng một ô đen.