Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại các điểm D, E, G.Hai đường thẳng \(DE,DG\)lần lượt cắt đường phân giác ngoài góc \(BAC\)tại \(M,N\) Hai đường thẳng MG, NE cắt nhau tại điểm P. Chứng minh rằng:

        a) EG song song với MN.

        b) Điểm P thuộc đường tròn (I).

Cách 1. Đánh số vào các hình lục giác như hình vẽ.

Ta xét một hình lục giác được điền số \({a_i}\;\;\)thì \({a_i} \equiv {b_i}\) (mod 2) trong đó \({b_i}\)  là tổng các số được điền trong các hình lục giác chung cạnh với hình lục giác đang xét. Do đó, khi đổi màu theo đề bài thì số dư trong phép chia cho 2 của tổng các số trong các hình lục giác tô đen luôn không đổi.

Đối với hình 1 thì số dư này bằng 1, còn đối với hình 2 thì số dư này bằng 0 nên không thể có cách đổi màu nào biến hình 1 thành hình 2.

Cách 2.

Xét các ô 2,3,5,6. Mỗi bước ta đổi màu hai hoặc cả bốn ô đó nên số ô đen không thay đổi tính chẵn, lẻ. Ban đầu trong bốn ô nói trên có hai ô đen nên không thể có trạng thái trong bốn ô đó có đúng một ô đen.

a) Bằng các phép biến đổi biểu thức kết hợp với a, b không âm và c thực dương, ta có:

            \(\sqrt a - \sqrt {a + b - c} = \sqrt b + \sqrt c \)

\(\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \sqrt a - \sqrt b = \sqrt c + \sqrt {a + b - c} \)

      \( \Leftrightarrow a + b - 2\sqrt {ab} = a + b + 2\sqrt {c\left( {a + b - c} \right)} \)

      \( \Leftrightarrow \sqrt {ab} + \sqrt {c\left( {a + b - c} \right)} = 0\)

      \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab = 0}\\{\left( {a + b - c} \right) = 0}\end{array}} \right.\)    (*)

Ta cần chứng minh

       \(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{a + b - c}}\)

Ta biến đổi tương đương đẳng thức này kết hợp với a, b không âm và c thực dương, ta có:

        \(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{a + b - c}}\)

     \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{{a + b - c}}\)

     \( \Leftrightarrow a + b + 3\left( {\sqrt[3]{{{a^2}b}} + \sqrt[3]{{a{b^2}}}} \right) = a + b + 3\left( {\sqrt[3]{{{c^2}\left( {a + b - c} \right)}} + \sqrt[3]{{c{{(a + b - c)}^2}}}} \right)\)

     \( \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{{a^2}b}} + \sqrt[3]{{a{b^2}}}} \right) = \left( {\sqrt[3]{{{c^2}\left( {a + b - c} \right)}} + \sqrt[3]{{c{{(a + b - c)}^2}}}} \right)\)

  Đẳng thức cuối đúng với điều kiện (*) nên đẳng thức đầu đúng. Bài toán được chứng minh.

b) Lấy $\alpha \in \mathrm{\mathbb{Q}}$ sao cho

Viết lại phương trình dưới dạng

Bình phương 2 vế ta có:
\(a + {\alpha ^2}b - 2\alpha \sqrt {ab} = 5{\alpha ^2} - 2\alpha \sqrt {15} \)

Từ đó suy ra

                    \(\sqrt {ab} - \sqrt {15} = \beta \in \mathbb{Q}\)

Bình phương 2 vế đẳng thức \(\sqrt {ab} - \sqrt {15} + \beta \) ta được

                    \(ab = 15 + {\beta ^2} + 2\beta \sqrt {15} \)

                    \( \Leftrightarrow 2\beta \sqrt {15} = ab - 15 - {\beta ^2}\)

Đẳng thức cuối xảy ra khi và chỉ khi \(\beta \) = 0 tức là ab = 15 . Xét tất cả khả năng có thể xảy ra, ta được.

·        a = 1 , b = 15 tức là \(\alpha = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 5 + \sqrt {15} }} = \frac{1}{{\sqrt {5\;} }}\;\)là1 số vô tỷ.

·        a = 3, b = 5 tức là \(\alpha = \frac{{2\sqrt 3 }}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {5\;} }}\;\;\)là 1 số vô tỷ.

·        a = 5, b = 3 tức là \(\alpha = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }} = 1\) là 1 số hữu tỷ.

·        a = 15 , b = 1 , tức là \(\alpha = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt {15} }}{{\sqrt 5 + 1}} = \sqrt 3 \), 1 số vô tỷ.

        Vậy tất cả các cặp (a,b) thỏa mãn là a = 5 b = 3 .

Các bạn có thể tham khảo bài toán gốc của câu 26) như sau. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho số

                                 \(\frac{{\sqrt 2 + \sqrt a }}{{\sqrt 3 + \sqrt b }}\)

là số hữu tỷ.