Bảy lục giác đều được sắp xếp và tô màu bằng hai màu trắng, đen như ở Hình 1. Mỗi lần cho phép chọn ra một lục giác đều, đổi màu của lục giác đó và của tất cả các lục giác đều chung cạnh với lục giác đó (trắng thành đen và đen thành trắng). Chứng minh rằng dù có thực hiện cách làm trên bao nhiêu lần đi nữa, cũng không thể nhận được các lục giác đều được ô màu như ở Hình 2.

1) Gọi 4 số nguyên liên tiếp bất kỳ là a, a + 1 , a + 2 a + 3 với a in mathbb Z Ta có các biến đổi:

  \(a\left( {a + 1} \right)\left( {a + 2} \right)\left( {a + 3} \right) + 1 = \left( {{a^2} + 3a} \right)\left( {{a^2} + 3a + 2} \right) + 1\)

                                                                 \( = {({a^2} + 3a)^2} + 2\left( {{a^2} + 3a} \right) + 1\)

                                                                 \( = {({a^2} + 3a + 1)^2}\)        

     Vì\(\;\;\;{({a^2} + 3a + 1)^2}\) là một số chính phương nên bài toán được chứng minh.

2) Bằng các phép biến đổi ta được hệ phương trình sau

           \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2xy - x = 10}\\{x + y + xy = 12}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\)     \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {2y - 1} \right) = 10}\\{\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 12}\end{array}\;\;\;\;\;\left( 1 \right)} \right.\)

    Vì 2, y nguyên nên x , 2y - 1 nguyên do đó 2y - 1 là ước lẻ của 10. Ta xét các trường hợp sau.

·        2y - 1 = 1 suy ra y = 1 và x = 10 thay vào (1) không thỏa mãn.

·        2y - 1 = - 1 suy ra y = 0 và x = - 10 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn.

·        2y - 1 = 5 suy ra y = 3 và x = 2 thay vào (1) ta thấy thỏa mãn.

·        2y - 1 = - 5 suy ra y = - 2 và x = - 2 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn.

        Vậy cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn duy nhất là (x, y) = (2, 3) .

a) Bằng các phép biến đổi biểu thức kết hợp với a, b không âm và c thực dương, ta có:

            \(\sqrt a - \sqrt {a + b - c} = \sqrt b + \sqrt c \)

\(\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \sqrt a - \sqrt b = \sqrt c + \sqrt {a + b - c} \)

      \( \Leftrightarrow a + b - 2\sqrt {ab} = a + b + 2\sqrt {c\left( {a + b - c} \right)} \)

      \( \Leftrightarrow \sqrt {ab} + \sqrt {c\left( {a + b - c} \right)} = 0\)

      \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ab = 0}\\{\left( {a + b - c} \right) = 0}\end{array}} \right.\)    (*)

Ta cần chứng minh

       \(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{a + b - c}}\)

Ta biến đổi tương đương đẳng thức này kết hợp với a, b không âm và c thực dương, ta có:

        \(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{a + b - c}}\)

     \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{c} + \sqrt[3]{{a + b - c}}\)

     \( \Leftrightarrow a + b + 3\left( {\sqrt[3]{{{a^2}b}} + \sqrt[3]{{a{b^2}}}} \right) = a + b + 3\left( {\sqrt[3]{{{c^2}\left( {a + b - c} \right)}} + \sqrt[3]{{c{{(a + b - c)}^2}}}} \right)\)

     \( \Leftrightarrow \left( {\sqrt[3]{{{a^2}b}} + \sqrt[3]{{a{b^2}}}} \right) = \left( {\sqrt[3]{{{c^2}\left( {a + b - c} \right)}} + \sqrt[3]{{c{{(a + b - c)}^2}}}} \right)\)

  Đẳng thức cuối đúng với điều kiện (*) nên đẳng thức đầu đúng. Bài toán được chứng minh.

b) Lấy $\alpha \in \mathrm{\mathbb{Q}}$ sao cho

Viết lại phương trình dưới dạng

Bình phương 2 vế ta có:
\(a + {\alpha ^2}b - 2\alpha \sqrt {ab} = 5{\alpha ^2} - 2\alpha \sqrt {15} \)

Từ đó suy ra

                    \(\sqrt {ab} - \sqrt {15} = \beta \in \mathbb{Q}\)

Bình phương 2 vế đẳng thức \(\sqrt {ab} - \sqrt {15} + \beta \) ta được

                    \(ab = 15 + {\beta ^2} + 2\beta \sqrt {15} \)

                    \( \Leftrightarrow 2\beta \sqrt {15} = ab - 15 - {\beta ^2}\)

Đẳng thức cuối xảy ra khi và chỉ khi \(\beta \) = 0 tức là ab = 15 . Xét tất cả khả năng có thể xảy ra, ta được.

·        a = 1 , b = 15 tức là \(\alpha = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 5 + \sqrt {15} }} = \frac{1}{{\sqrt {5\;} }}\;\)là1 số vô tỷ.

·        a = 3, b = 5 tức là \(\alpha = \frac{{2\sqrt 3 }}{{2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {5\;} }}\;\;\)là 1 số vô tỷ.

·        a = 5, b = 3 tức là \(\alpha = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }} = 1\) là 1 số hữu tỷ.

·        a = 15 , b = 1 , tức là \(\alpha = \frac{{\sqrt 3 + \sqrt {15} }}{{\sqrt 5 + 1}} = \sqrt 3 \), 1 số vô tỷ.

        Vậy tất cả các cặp (a,b) thỏa mãn là a = 5 b = 3 .

Các bạn có thể tham khảo bài toán gốc của câu 26) như sau. Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho số

                                 \(\frac{{\sqrt 2 + \sqrt a }}{{\sqrt 3 + \sqrt b }}\)

là số hữu tỷ.