III. Lời giải chi tiết tự luận

(1 điểm) Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\). Chứng minh \(AH \bot SC\).

Đáp án đúng là: A

Ta có \({5^{2x - 4}} = 25 \Leftrightarrow {5^{2x - 4}} = {5^2} \Leftrightarrow 2x - 4 = 2 \Leftrightarrow x = 3\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\).

Vì tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot BC\).

Lại có \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\).

Do đó, \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Vì tam giác \(SBC\) là tam giác vuông tại \(S\) nên \(SH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Vì tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) nên \(AH \bot BC\) và \(AH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a = {a^2}\).

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot a = \frac{{{a^3}}}{3}\).