Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{x^2} + x - 3\) là

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5 - 1;\,\,4 - 2} \right) = \left( {4;\,\,2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\), nên \(\overrightarrow u  = \left( {2;\,\, - 4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Do đó, đường thẳng \(AB\) cũng có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow u  =  - \frac{1}{2}\left( {2;\,\, - 4} \right) = \left( { - 1;\,\,2} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(d: - 3x + y - 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;\,\,1} \right)\), nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\,3} \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\). Đường thẳng này có dạng \(x + 3y + m = 0\).

Vì \(M\left( { - 2;\,\,1} \right) \in \Delta \) nên \( - 2 + 3.1 + m = 0 \Rightarrow m =  - 1\).

Do đó, phương trình của \(\Delta \) là \(x + 3y - 1 = 0\).

Tọa độ hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(d\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\ - 3x + y - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{7}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).