Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - y + 1 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) . Tìm tọa độ điểm \(M \in d\) sao cho từ \(M\) kẻ được hai tiếp tuyến \(MA,MB\) thỏa mãn khoảng cách từ \(N\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) đến đường thẳng\(AB\) bằng 1.

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\).

Ta có điểm \(M\)thuộc \(d:x - y + 1 = 0\) nên \(M\left( {a;a + 1} \right)\).

Gọi \(K\) trung điểm của \(MI\)thì \(K\left( {\frac{{a + 1}}{2};\frac{{a - 1}}{2}} \right)\).

Vì \(\Delta MAI\) và \(\Delta MBI\) lần lượt vuông tại \(A\) và \(B\) (định nghĩa tiếp tuyến)  nên \(KA = KB = \frac{1}{2}MI\).

Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(K\), đường kính \(MI\) nên có phương trình

\({\left( {x - \frac{{a + 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{a - 1}}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + 2a + 5}}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \left( {a + 1} \right)x - \left( {a - 1} \right)y - a - 2 = 0\).

Đường thẳng \(AB\)  là giao của hai đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\) nên tọa độ điểm \(A,B\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\\{x^2} + {y^2} - \left( {a + 1} \right)x - \left( {a - 1} \right)y - a - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( {1 - a} \right)x - \left( {a + 3} \right)y - a + 2 = 0\).

Suy ra đường thẳng\(AB\) có phương trình \(\left( {1 - a} \right)x - \left( {a + 3} \right)y - a + 2 = 0\).

Khoảng cách từ \(N\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)đến \(AB\) là \(d\left( {N,AB} \right) = \frac{{\left| {1 - 3a} \right|}}{{2\sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {a + 3} \right)}^2}} }} = 1\).

\[ \Rightarrow 2\sqrt {2{a^2} + 4a + 10}  = \left| {1 - 3a} \right|\]

\( \Rightarrow 4\left( {2{a^2} + 4a + 10} \right) = 9{a^2} - 6a + 1\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 22a - 39 = 0 \Leftrightarrow a = 11 \pm 4\sqrt {10} \).

Thử lại ta thấy cả hai giá trị của \(a\) đều thỏa mãn.

Vậy \(M\left( {11 + 4\sqrt {10} ;12 + 4\sqrt {10} } \right)\) hoặc \(M\left( {11 - 4\sqrt {10} ;12 - 4\sqrt {10} } \right)\).