Cho tam giác \(ABC\) có \(C\left( { - 1;2} \right)\) và trọng tâm \(G\left( {3;1} \right)\), điểm \(M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\).

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B},{y_B}} \right)\).

Do điểm \(M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} - 1}}{2} = 2\\\frac{{{y_B} + 2}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 5\\{y_B} = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {5;2} \right)\).

Do \(G\left( {3;1} \right)\) là trọng tâm của tam giác nên ta có:

\(AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow AG = 2GM \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {GM} \)

Mà: \(\overrightarrow {AG}  = \left( {3 - {x_A};1 - {y_A}} \right)\); \(\overrightarrow {GM}  = \left( {2 - 3;2 - 1} \right) = \left( { - 1;\,\,1} \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {GM}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - {x_A} = 2 \cdot ( - 1)\\1 - {y_A} = 2 \cdot 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5 - 5;2 - ( - 1)} \right) = \left( {0;3} \right)\)

Do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;0} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ pháp tuyến  \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;0} \right)\) là \( - 3\left( {x - 5} \right) + 0.\left( {y - ( - 1)} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 5 = 0\).