Tìm hệ số của \({x^2}\) trong khai triển \({\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\), với \(x > 0\) , biết: \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11\).       

Do \(BH\) là đường cao nên \(AC \bot BH\) nên đường thẳng \(AC\)có một vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {{u_{AC}}}  = \overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {5; - 2} \right)\).

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AC\) là: \(\overrightarrow {{n_{AC}}}  = \left( {2;5} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) có phương trình là:

\(2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y - 8 = 0\).

Do đường thẳng \(AC\) giao đường thẳng \(CM\) tại \(C\) nên tọa độ của \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 8 = 0\\5x + 7y - 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\).

Đặt tọa độ điểm \(B\left( {a;b} \right)\). Do \(B \in BH\) nên \(5a - 2b - 4 = 0\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên\(M\left( {\frac{{ - 1 + a}}{2};\frac{{2 + b}}{2}} \right) \in CM\)

\( \Leftrightarrow 5.\frac{{ - 1 + a}}{2} + 7.\frac{{2 + b}}{2} - 20 = 0 \Leftrightarrow 5a + 7b - 31 = 0\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}5a - 2b - 4 = 0\\5a + 7b - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {2;3} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) có vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 3} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0\).

Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] với \[a,b,c,d \in A = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\].

Vì \[\overline {abcd} \] là số chẵn \[ \Rightarrow \,\,d \in \left\{ {0;\,\,2;\,\,4} \right\}\]

+ Trường hợp 1: Nếu \[d = 0\] thì \(d\) có một cách chọn

\[a\] có 5 cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\)).

\[b\] có 4 cách chọn (vì \(a \ne b\) nên \(b\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a\) đã chọn).

\[c\] có 3 cách chọn (vì \(a \ne c;\,b \ne c\) nên \(c\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,b\) đã chọn).

Như vậy, ta có \[5.4.3.1 = 60\] số.

+ Trường hợp 2: Nếu \[d \ne 0\] thì \(d\) có \[2\] cách chọn là số 2 hoặc 4

\[a\] có 4 cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) bỏ đi số mà \(d\) đã chọn).

\[b\] có 4 cách chọn (vì \(a \ne b;b \ne d\) nên \(b\) được chọn từ một trong các số \(0;1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,d\) đã chọn).

\[c\] có 3 cách chọn (vì \(a \ne c;\,b \ne c;d \ne c\) nên \(c\) được chọn từ một trong các số \(0;1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,b,d\) đã chọn).

Như vậy, ta có \[2.4.4.3 = 96\] số.

Vậy có tất cả \[60 + 96 = 156\] số cần tìm.