Gọi \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^3 + 2A_n^2 = 48\). Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {1 - 3x} \right)^n}\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: \(n \in \mathbb{N},n \ge 3\)

\(A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 48\)

\( \Leftrightarrow \)\(n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2.n\left( {n - 1} \right) = 48\)

\( \Leftrightarrow \)\({n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4\)

Ta có

\({\left( {1 - 3x} \right)^4} = C_4^0{.1^4}.{\left( { - 3x} \right)^0} + C_4^1{.1^3}.{\left( { - 3x} \right)^1} + C_4^2{.1^2}.{\left( { - 3x} \right)^2} + C_4^3{.1^1}.{\left( { - 3x} \right)^3} + C_4^4{.1^0}.{\left( { - 3x} \right)^4}\)

\( = 1 - 12x + 54{x^2} - 108{x^3} + 81{x^4}\)

Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {1 - 3x} \right)^4}\) là \[ - 108\] và \[ - 108 \in \left( { - \infty ;50} \right)\].