Cho tam giác \(ABC\) biết trực tâm \[H(1;\,\,1)\] và phương trình cạnh\[AB:5x - 2y + 6 = 0\], phương trình cạnh \[AC:4x + 7y - 21 = 0\]. Viết phương trình cạnh \(BC\).

Ta có \(A = AB \cap AC \Rightarrow A\left( {0;3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( {1; - 2} \right)\).

Ta có \(BH \bot AC \Rightarrow BH:7x - 4y + d = 0\)

Mà \(H\left( {1;\,\,1} \right) \in BH \Rightarrow d =  - 3\), do đó \(BH:7x - 4y - 3 = 0\).

Có \(B = AB \cap BH \Rightarrow B\left( { - 5; - \frac{{19}}{2}} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) nhận \(\overrightarrow {AH}  = \left( {1; - 2} \right)\) là VTPT và đi qua \(B\left( { - 5; - \frac{{19}}{2}} \right)\).

Suy ra phương trình \(BC:\left( {x + 5} \right) - 2\left( {y + \frac{{19}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 14 = 0\).