a) Tổng của hai số bằng 23. Hai lần số này lớn hơn số kia 1 đơn vị. Tìm hai số đó.
b) Hai đội công nhân cùng dọn vệ sinh khu vực khán đài Lễ hội Pháo hoa quốc tế Đà Nã̃ng trong 1 giờ 12 phút thì xong. Nếu đội \({\rm{A}}\) làm 40 phút và đội \({\rm{B}}\) làm 2 giờ thì xong việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu?
a) Tổng của hai số bằng 23. Hai lần số này lớn hơn số kia 1 đơn vị. Tìm hai số đó.
b) Hai đội công nhân cùng dọn vệ sinh khu vực khán đài Lễ hội Pháo hoa quốc tế Đà Nã̃ng trong 1 giờ 12 phút thì xong. Nếu đội \({\rm{A}}\) làm 40 phút và đội \({\rm{B}}\) làm 2 giờ thì xong việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Tổng của hai số bằng 23. Hai lần số này hơn số kia 1 đơn vị. Tim hai số đó.
Gọi số thứ nhất là \({\rm{a}}\), số thứ hai là \({\rm{b}}\).
Theo đề bài:
Tổng của hai số bằng 23 , ta có phương trình: \({\rm{a}} + {\rm{b}} = 23\);
Hai lần số này hơn số kia 1 đơn vị, ta có phương trình: \(2{\rm{a}} - {\rm{b}} = 1\).
Theo bài ra ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 23}\\{2a - b = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 23}\\{3a = 24}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 23}\\{a = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 8}\\{b = 15}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)
Vậy số thứ nhất là 8 , số thứ hai là 15 .
b) Đổi 1 giờ 12 phút \( = \frac{6}{5}\;{\rm{h}};40\) phút \( = \frac{2}{3}\;{\rm{h}}\)
Gọi thời gian đội \({\rm{A}}\) làm riêng hoàn thành công việc là \({\rm{x}}({\rm{h}})\,,\,\,\,\left( {x > \frac{6}{5}} \right)\)
Thời gian đội \({\rm{B}}\) làm riêng hoàn thành công việc là \({\rm{y}}({\rm{h}})\,;\,\,\,\left( {y > \frac{6}{5}} \right)\)
Trong 1 giờ, đội \({\rm{A}}\) làm được \(\frac{1}{x}\) công việc; đội \({\rm{B}}\) làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.
\( \Rightarrow \)Trong 1 giờ hai đội cùng làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc)
Theo đề bài, hai đội làm cùng nhau thì sau 1 giờ 12 phút \( = \frac{6}{5}\;{\rm{h}}\) xong công việc nên ta có phương trình: \(\frac{6}{5} \cdot \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)
Theo đề bài, nếu đội \({\rm{A}}\) làm 40 phút \( = \frac{2}{3}\;{\rm{h}}\) và đội \({\rm{B}}\) làm 2 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình: \(\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\)
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}}\\{\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1}\end{array}} \right.\).
Đặt\[\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{x}\\v = \frac{1}{y}\end{array} \right.\] Hệ phương trình trở thành
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u + v = \frac{5}{6}}\\{\frac{2}{3}u + 2v = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{\frac{2}{3}u + 2v = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{\frac{2}{3}u + 2\left( {\frac{5}{6} - u} \right) = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{\frac{2}{3}u + \frac{5}{3} - 2u = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{\frac{4}{3}u = \frac{2}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{u = \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{1}{3}}\\{u = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} = \frac{1}{2}}\\{\frac{1}{y} = \frac{1}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.{\rm{ }}\]
Vậy thời gian đội \({\rm{A}}\) làm riêng hoàn thành công việc là 2 giờ; thời gian đội \({\rm{B}}\) làm riêng hoàn thành công việc là 3 giờ.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a)Tính \(A = \sqrt 4 + \sqrt {20} - \sqrt 5 - 2\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt 4 + \sqrt {20} - \sqrt 5 - 2 = \sqrt {{2^2}} + \sqrt {{2^2} \cdot 5} - \sqrt 5 - 2\\\,\,\,\,\, = 2 + 2\sqrt 5 - \sqrt 5 - 2 = (2 - 2) + \left( {2\sqrt 5 - \sqrt 5 } \right) = \sqrt 5 \end{array}\)
Vậy \(A = \sqrt 5 \).
b) Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{x + \sqrt x }}} \right):\frac{{\sqrt x - 1}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}\) với \(x > 0,x \ne 1\). Rút gọn biểu thúc \(B\) và so sánh giá trị của \(B\) với 1 .
Điều kiện xác định: \(x > 0,x \ne 1\).
\(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x - 1}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\\B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x - 1}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\\B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\end{array}\)
Ta có: \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x }} > 1\,;\,\,\forall x > 0,x \ne 1\).
Vậy với \(x > 0,x \ne 1\) thì \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} > 1\).
Lời giải
Cho hàm số \({\rm{y}} = \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}\) có đồ thị \(({\rm{P}})\).
a) Vẽ đồ thị (P).
Ta có bảng giá trị sau:
|
\(x\) |
\( - 2\) |
\( - 1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
|
\(y = \frac{1}{2}{x^2}\) |
\(2\) |
\(\frac{1}{2}\) |
\(0\) |
\(\frac{1}{2}\) |
\(2\) |
\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm
\(O\,\left( {0\,;\,\,0} \right)\,;\,\,A\,\left( { - 2\,;\,\,2} \right)\,;\,\,\,B\,\left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\,\,;\,\,\,C\,\,\left( {1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\,\,;\,\,D\,\left( {2\,;\,\,2} \right)\)
Hệ số \(a = \frac{1}{2} > 0\) nên parabol có bề cong hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận \({\rm{Oy}}\) làm trục đối xứng.
Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:
a) Đường thẳng \(y = - x + b\) (với \(b > 0\)) lần lượt cắt \[Ox,\]\[Oy\] tại \(E\,,\,\,F\). Chứng minh rằng tam giác \(OEF\)vuông cân và tìm \(b\) để tâm đuờng tròn ngoại tiếp tam giác \[OEF\] là gốc tọa độ.
Cho \(y = 0 \Rightarrow - x + b = 0 \Leftrightarrow x = b\)
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = - x + b\) cắt \({\rm{Ox}}\) tại \({\rm{E}}({\rm{b}};0)\).
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 0 + b = b\)
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = - x + b\) cắt \({\rm{Oy}}\) tại \({\rm{F}}(0;{\rm{b}})\).
Xét \(\Delta OEF\) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OE \bot OF\,\,\,\left( {{\rm{do }}Ox \bot Oy} \right)}\\{OE = OF = b\,\,\,\left( {{\rm{do }}b > 0} \right)}\end{array} \Rightarrow \Delta OEF} \right.\) vuông cân tại \({\rm{O}}\).
\( \Rightarrow \) Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OEF\) là trung điểm cạnh huyền \[EF\].
Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OEF\) là \(H\).
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên \(Ox\,,\,\,Oy\).
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HM \bot Ox}\\{OF \bot Ox}\end{array} \Rightarrow HM\,{\rm{//}}\,OF} \right.\) (từ vuông góc đến song song).
Mà \(H\) là trung điểm của \(EF\)\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(OE\) (Tính chất đường trung bình của tam giác).
\( \Rightarrow HM\) là đường trung bình của tam giác \(OEF \Rightarrow HM = \frac{1}{2}OF = \frac{b}{2}\).
Chứng minh tương tự ta tính được \(HN = \frac{b}{2}\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{b}{2};\frac{b}{2}} \right)\)
Để tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OEF\) là một điểm thuộc \(({\rm{P}}) \Leftrightarrow H\left( {\frac{b}{2};\frac{b}{2}} \right) \in (P)\).
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{b}{2} = \frac{{{b^2}}}{8} \Leftrightarrow {b^2} - 4b = 0\\ \Leftrightarrow b\left( {b - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\,\,\,(L)\\b = 4\,\,(TM)\end{array} \right.\,\,\end{array}\]
Vậy \(b = 4\) là giá trị cần tìm.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập