a) Tổng của hai số bằng 23. Hai lần số này lớn hơn số kia 1 đơn vị. Tìm hai số đó.
b) Hai đội công nhân cùng dọn vệ sinh khu vực khán đài Lễ hội Pháo hoa quốc tế Đà Nã̃ng trong 1 giờ 12 phút thì xong. Nếu đội \({\rm{A}}\) làm 40 phút và đội \({\rm{B}}\) làm 2 giờ thì xong việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu?
a) Tổng của hai số bằng 23. Hai lần số này lớn hơn số kia 1 đơn vị. Tìm hai số đó.
b) Hai đội công nhân cùng dọn vệ sinh khu vực khán đài Lễ hội Pháo hoa quốc tế Đà Nã̃ng trong 1 giờ 12 phút thì xong. Nếu đội \({\rm{A}}\) làm 40 phút và đội \({\rm{B}}\) làm 2 giờ thì xong việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Tổng của hai số bằng 23. Hai lần số này hơn số kia 1 đơn vị. Tim hai số đó.
Gọi số thứ nhất là \({\rm{a}}\), số thứ hai là \({\rm{b}}\).
Theo đề bài:
Tổng của hai số bằng 23 , ta có phương trình: \({\rm{a}} + {\rm{b}} = 23\);
Hai lần số này hơn số kia 1 đơn vị, ta có phương trình: \(2{\rm{a}} - {\rm{b}} = 1\).
Theo bài ra ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 23}\\{2a - b = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 23}\\{3a = 24}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 23}\\{a = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 8}\\{b = 15}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)
Vậy số thứ nhất là 8 , số thứ hai là 15 .
b) Đổi 1 giờ 12 phút \( = \frac{6}{5}\;{\rm{h}};40\) phút \( = \frac{2}{3}\;{\rm{h}}\)
Gọi thời gian đội \({\rm{A}}\) làm riêng hoàn thành công việc là \({\rm{x}}({\rm{h}})\,,\,\,\,\left( {x > \frac{6}{5}} \right)\)
Thời gian đội \({\rm{B}}\) làm riêng hoàn thành công việc là \({\rm{y}}({\rm{h}})\,;\,\,\,\left( {y > \frac{6}{5}} \right)\)
Trong 1 giờ, đội \({\rm{A}}\) làm được \(\frac{1}{x}\) công việc; đội \({\rm{B}}\) làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.
\( \Rightarrow \)Trong 1 giờ hai đội cùng làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc)
Theo đề bài, hai đội làm cùng nhau thì sau 1 giờ 12 phút \( = \frac{6}{5}\;{\rm{h}}\) xong công việc nên ta có phương trình: \(\frac{6}{5} \cdot \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)
Theo đề bài, nếu đội \({\rm{A}}\) làm 40 phút \( = \frac{2}{3}\;{\rm{h}}\) và đội \({\rm{B}}\) làm 2 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình: \(\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\)
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}}\\{\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1}\end{array}} \right.\).
Đặt\[\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{x}\\v = \frac{1}{y}\end{array} \right.\] Hệ phương trình trở thành
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u + v = \frac{5}{6}}\\{\frac{2}{3}u + 2v = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{\frac{2}{3}u + 2v = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{\frac{2}{3}u + 2\left( {\frac{5}{6} - u} \right) = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{\frac{2}{3}u + \frac{5}{3} - 2u = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{\frac{4}{3}u = \frac{2}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{u = \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{1}{3}}\\{u = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} = \frac{1}{2}}\\{\frac{1}{y} = \frac{1}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.{\rm{ }}\]
Vậy thời gian đội \({\rm{A}}\) làm riêng hoàn thành công việc là 2 giờ; thời gian đội \({\rm{B}}\) làm riêng hoàn thành công việc là 3 giờ.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} - 2m + 5 = 0\,\,(*)\), với \(m\) là tham số.
a) Giải phurơng trinh (*) khi \(m = 1\).
Thay \(m = 1\) vào phương trình \((*)\) ta được:
\[{x^2} - 2\left( {1 + 1} \right)x + 1 - 2 + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0\]\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\]
Vậy khi \({\rm{m}} = 1\) phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2\).
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(\sqrt {4x_1^2 + 4m{x_1} + {m^2}} + \sqrt {x_2^2 + 4m{x_2} + 4{m^2}} = 7m + 2.\)
Ta có: \(\Delta ' = {(m + 1)^2} - \left( {{m^2} - 2m + 5} \right) = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 2m - 5 = 4m - 4\)
Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 1\).
Theo đề cho: \(\sqrt {4x_1^2 + 4m{x_1} + {m^2}} + \sqrt {x_2^2 + 4m{x_2} + 4{m^2}} = 7m + 2\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2{x_1} + m} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{x_2} + 2m} \right)}^2}} = 7m + 2\)
\( \Leftrightarrow \left| {2{x_1} + m} \right| + \left| {{x_2} + 2m} \right| = 7m + 2\)
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2 > 0\,\,\,\left( {{\rm{do }}m > 1} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 5 = {{\left( {m - 1} \right)}^2} + 4 > 0\,\,\forall m}\end{array}} \right.\]
\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} > 0}\\{{x_2} > 0}\end{array}\,\,\,\,\forall m > 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x_1} + m > 0}\\{{x_2} + 2m > 0}\end{array}\,\,\,\,\,\forall m} \right.} \right. > 1\]
Khi đó ta có: \(\left| {2{x_1} + m} \right| + \left| {{x_2} + 2m} \right| = 7m + 2 \Leftrightarrow 2{x_1} + m + {x_2} + 2m = 7m + 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x_1} + {x_2} = 4m + 2 \Leftrightarrow 2m + 2 + {x_1} = 4m + 2\\ \Leftrightarrow {x_1} = 2m \Rightarrow {x_2} = 2m + 2 - {x_1} = 2\\ \Rightarrow {x_1}{x_2} = 4m = {m^2} - 2m + 5 \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 = 0\end{array}\)
Ta có \(a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m_1} = 1\,\,(ktm)}\\{{m_2} = 5\,\,(tm)}\end{array}} \right.\)
Vậy \(m = 5\) thoả mãn yêu cầu bài toán
Lời giải
a) Chứng minh rằng \(AB = CD\) và \(\widehat {CFD} = \widehat {BCA}\).
· Chứng \({\mathop{\rm minh}\nolimits} AB = CD\)
Xét tam giác \({\rm{AOB}}\) và tam giác \[COD\] có:
\(OA = OC\,\,\left( { = R} \right)\)
\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)(đối đỉnh)
\(OB = OD\,\,\left( {\, = R} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta AOB = \Delta COD\,\,(c \cdot g \cdot c)\)
\( \Rightarrow {\rm{AB}} = {\rm{CD}}\) (2 cạnh tương ứng) (đp̣cm)
Chứng minh \(\widehat {CFD} = \widehat {BCA}\)
Ta có: \(\widehat {CFD} = \widehat {CBD}\) (hai góc nội tiếp cùng góc chắn cung \({\rm{CD}}\) ).
Lại có: cân tại \(O\)\( \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB}\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \widehat {CBD} = \widehat {BCA}\)
Vậy \(\widehat {CFD} = \widehat {BCA}\).
b) Đường thẳng qua E vuông góc với \(BC\)cắt tia \(AF\)tại\(G\). Chứng minh rằng tứ giác CEFG nội tiếp và\(CD.EG = CB \cdot CE\)
· Chứng minh tứ giác CEFG nôi tiếp
Ta có: \(\widehat {AFC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow \widehat {CFG} = 90^\circ \)
Xét tứ giác \({\rm{CEFG}}\) có: \(\widehat {CFG} = \widehat {CEG} = 90^\circ \).
Mà hai đỉnh \({\rm{E}},{\rm{F}}\) kề nhau cùng nhìn dưới \({\rm{CG}}\) dưới hai góc bằng nhau
\( \Rightarrow \) Tứ giác EFGC nội tiếp (dhnb) (đpcm)
· Chứng minh \[CD.EG = CB.CE\]
Ta có: .
Xét tam giác \({\rm{AGC}}\) và tam giác \({\rm{ACF}}\) có:
\( \Rightarrow \widehat {ACG} = \widehat {AFC} = 90^\circ \) (2 góc tương ứng)
\( \Rightarrow CG \bot AC \Rightarrow {\rm{CG}}\) là tiếp tuyến của đường trong \(({\rm{O}})\) tại \(C\)
\( \Rightarrow {\rm{CG}}\) là tiếp tuyến của đường trong \(({\rm{O}})\) tại \({\rm{C}}\).
Xét tam giác \({\rm{BCD}}\) và tam giác \({\rm{GEC}}\) có:
\(\widehat {BCD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {GEC} = 90^\circ \).
\(\widehat {BDC} = \widehat {GCE}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ).
\( \Rightarrow \frac{{CB}}{{CD}} = \frac{{EG}}{{CE}} \Rightarrow CD \cdot EG = CB \cdot CE\) (đpcm)
c) Gọi \(H\)là giao điểm của tia \(GE\)và\(AD\). Đường thẳng qua\(H\), song song với \(AC\)cắt dường thẳng qua\(E\), song song với \(FC\) tại \[K\]. Chứng minh rằng ba điểm \(G\,,\,\,C\,,\,\,K\)thẳng hàng.
Vì \(CEFG\)là tứ giác nội tiếp (cmt)
\( \Rightarrow \widehat {EGC} = \widehat {EFC} = \widehat {DFC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung\(EC\))
Mà \(\widehat {DFC = }\widehat {DAC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{CD}}\) )
\( \Rightarrow \widehat {EGC} = \widehat {DAC} \Rightarrow \widehat {HGC} = \widehat {HAC}{\rm{ }}\)
Mà hai đinh \({\rm{A}},{\rm{G}}\) kề nhau cùng nhìn \({\rm{HC}}\) dưới hai góc bằng nhau.
\( \Rightarrow AGCH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \widehat {AGH} = \widehat {ACH} = \widehat {FGE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AH}}\)).
Mà \({\rm{CEFG}}\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {FGE} = \widehat {FCE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{EF}}\)).
\( \Rightarrow \widehat {ACH} = \widehat {FCE}\)
\({\rm{Ta}}\) có: \({\rm{EK}}\,{\rm{//}}\,\,{\rm{FC}}\,\,({\rm{gt}}) \Rightarrow \widehat {FCE} = \widehat {CEK}\) (so le trong)
\({\rm{HK}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AC (gt) }} \Rightarrow \widehat {ACH} = \widehat {CHK}{\rm{ (so le trong) }}\)
\( \Rightarrow \widehat {CEK} = \widehat {CHK}\)Mà hai đinh \({\rm{E}},{\rm{H}}\) kề nhau củng nhìn \({\rm{CK}}\) dưới hai góc bằng nhau
\( \Rightarrow CEHK\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \widehat {HEC} + \widehat {HKC} = 180^\circ {\rm{ }}\)
Mà \(\widehat {HEC} = 90^\circ \) (do \(GH \bot BC\) tại \({\rm{E}}\) ) \( \Rightarrow \widehat {HKC} = 90^\circ \Rightarrow CK \bot HK\).
Mà \({\rm{HK}}//{\rm{AC}}({\rm{gt}}) \Rightarrow CK \bot AC\) (từ vuông góc đến song song).
Mà \(CG \bot AC\,\,\,(cmt)\).
Vậy \({\rm{G}},{\rm{C}},{\rm{K}}\) thẳng hàng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập