Cho hàm số \({\rm{y}} = \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}\) có đồ thị \(({\rm{P}})\).                                                                                                                                        

a)     Vẽ đồ thị (P).

b)     Đường thằng \({\rm{y}} =  - {\rm{x}} + {\rm{b}}\) (với \({\rm{b}} > 0\) ) lần lượt cắt các tia \({\rm{Ox}},{\rm{Oy}}\) tại \({\rm{E}},{\rm{F}}\). Chứng minh rằng tam giác \({\rm{OEF}}\) vuông cân và tìm \({\rm{b}}\) đề tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \({\rm{OEF}}\) là một điểm thuộc \(({\rm{P}})\), với \({\rm{O}}\) là gốc tọa độ.

 a) Tổng của hai số bằng 23. Hai lần số này hơn số kia 1 đơn vị. Tim hai số đó.

Gọi số thứ nhất là \({\rm{a}}\), số thứ hai là \({\rm{b}}\).

Theo đề bài:

Tổng của hai số bằng 23 , ta có phương trình: \({\rm{a}} + {\rm{b}} = 23\);

Hai lần số này hơn số kia 1 đơn vị, ta có phương trình: \(2{\rm{a}} - {\rm{b}} = 1\).

Theo bài ra ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 23}\\{2a - b = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 23}\\{3a = 24}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 23}\\{a = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 8}\\{b = 15}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy số thứ nhất là 8 , số thứ hai là 15 .

b)    Đổi 1 giờ 12 phút \( = \frac{6}{5}\;{\rm{h}};40\) phút \( = \frac{2}{3}\;{\rm{h}}\)

Gọi thời gian đội \({\rm{A}}\) làm riêng hoàn thành công việc là \({\rm{x}}({\rm{h}})\,,\,\,\,\left( {x > \frac{6}{5}} \right)\)

Thời gian đội \({\rm{B}}\) làm riêng hoàn thành công việc là \({\rm{y}}({\rm{h}})\,;\,\,\,\left( {y > \frac{6}{5}} \right)\)

Trong 1 giờ, đội \({\rm{A}}\) làm được \(\frac{1}{x}\) công việc; đội \({\rm{B}}\) làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

\( \Rightarrow \)Trong 1 giờ hai đội cùng làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) (công việc)

Theo đề bài, hai đội làm cùng nhau thì sau 1 giờ 12 phút \( = \frac{6}{5}\;{\rm{h}}\) xong công việc nên ta có phương trình:    \(\frac{6}{5} \cdot \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

Theo đề bài, nếu đội \({\rm{A}}\) làm 40 phút \( = \frac{2}{3}\;{\rm{h}}\) và đội \({\rm{B}}\) làm 2 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình:   \(\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}}\\{\frac{2}{{3x}} + \frac{2}{y} = 1}\end{array}} \right.\).

Đặt\[\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{x}\\v = \frac{1}{y}\end{array} \right.\] Hệ phương trình trở thành     

      \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u + v = \frac{5}{6}}\\{\frac{2}{3}u + 2v = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{\frac{2}{3}u + 2v = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{\frac{2}{3}u + 2\left( {\frac{5}{6} - u} \right) = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{\frac{2}{3}u + \frac{5}{3} - 2u = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{\frac{4}{3}u = \frac{2}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{5}{6} - u}\\{u = \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = \frac{1}{3}}\\{u = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x} = \frac{1}{2}}\\{\frac{1}{y} = \frac{1}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.{\rm{ }}\]

Vậy thời gian đội \({\rm{A}}\) làm riêng hoàn thành công việc là 2 giờ; thời gian đội \({\rm{B}}\) làm riêng hoàn thành công việc là 3 giờ.