1. Cho phương trình \[{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 9 = 0\]\(\left( 1 \right)\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số).

a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m =  - 3.\)

b) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} - {x_2} = 2m - 10.\)

2. Một trường học có mảnh vườn hình chữ nhật chu vi là \[100\,{\rm{m}}.\] Nhà trường tiến hành
mở rộng mảnh vườn đó bằng cách tăng chiều dài thêm \[5\,{\rm{m}}\] và chiều rộng thêm \[4\,{\rm{m}},\] khi đó diện tích tăng thêm \[240\,{{\rm{m}}^2}.\]Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn trước khi mở rộng.

1a)Với \(m =  - 3\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có dạng \({x^2} + 8x = 0.\)

\[ \Leftrightarrow x{\rm{(}}x + 8{\rm{)}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 8\end{array} \right.\]

Vậy khi \(m =  - 3,\) phương trình có nghiệm là \(x = 0;\,\,x =  - 8.\)

b)Có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - {m^2} + 9 = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 9 =  - 2m + 10.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) \[ \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow  - 2m + 10 > 0 \Leftrightarrow m < 5\]

Theo hệ thức Vi-ét \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\] 

Theo đề bài ta có: \[{x_1} - {x_2} = 2m - 10,\] kết hợp với (2) ta được \[{x_1} = 2m - 6;{x_2} = 4\]  

Thay \[{x_1} = 2m - 6;{x_2} = 4\] vào (3) ta được:\(\left( {2m - 6} \right)4 = {m^2} - 9 \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 15 = 0\).

Giải được \(m = 3\) (thoả mãn), \(m = 5\) (loại)

Vậy với \(m = 3\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn

\({x_1} - {x_2} = 2m - 10.\)

2.Gọi chiều dài của vườn ban đầu là \[x\left( m \right)\], chiều rộng của vườn ban đầu là \[y\left( m \right)\]

(ĐK: \(0 < y < x < 50\))

Vì chu vi của vườn ban đầu là \[100m\] nên ta có phương trình:

\[2\left( {x + y} \right) = 100 \Leftrightarrow x + y = 50{\rm{ }}\left( 1 \right)\]

Chiều dài của vườn sau khi mở rộng là: \[\left( {x + 5} \right){\rm{ }}\left( m \right)\]

Chiều rộng của vườn sau khi mở rộng là: \[\left( {y + 4} \right){\rm{ }}\left( m \right)\]

Khi đó diện tích vườn trường đã tăng thêm \[240{m^2}\] nên ta có phương trình:

\(\left( {x + 5} \right)\left( {y + 4} \right) - xy = 240\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 50\\\left( {x + 5} \right)\left( {y + 4} \right) - xy = 240\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình.

Giải hệ phương trình ta được: \[x = 30{\rm{;}}\,y = 20\] (thoả mãn điều kiện).

Vậy chiều dài của vườn ban đầu là \[30m,\] chiều rộng của vườn ban đầu là \[20m.\]