1. Cho phương trình \[{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 9 = 0\]\(\left( 1 \right)\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số).

a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m =  - 3.\)

b) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} - {x_2} = 2m - 10.\)

2. Một trường học có mảnh vườn hình chữ nhật chu vi là \[100\,{\rm{m}}.\] Nhà trường tiến hành
mở rộng mảnh vườn đó bằng cách tăng chiều dài thêm \[5\,{\rm{m}}\] và chiều rộng thêm \[4\,{\rm{m}},\] khi đó diện tích tăng thêm \[240\,{{\rm{m}}^2}.\]Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn trước khi mở rộng.

a. (1,0 điểm)

  \(A = 6\sqrt 2  - 5\sqrt 2  - \left| {\sqrt 2  - 1} \right|\)

     \( = \sqrt 2  - \sqrt 2  + 1\) (vì \(\sqrt 2  - 1 > 0\)) \[ = 1\]

 Với \[x\; \ge 0,\,\,x \ne 4,\;\,x \ne 9\] ta có :

  \[B = \left[ {\frac{{3\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}} \right]:\frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\sqrt x  - 3}}\]

    \( = \frac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}.\)

b. (0,5 điểm)

Để \(A - 2B = 3\) \( \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{{\sqrt x  - 2}} = 3 \Rightarrow \sqrt x  - 2 - 2 = 3\sqrt x  - 6 \Leftrightarrow 2\sqrt x  = 2 \Leftrightarrow \sqrt x  = 1\)

\( \Leftrightarrow x = 1\) (thoả mãn).

Vậy \(x = 1\) thì \(A - 2B = 3.\)

Ta có: \[\]\[{\left( {a + b} \right)^3} = 2\left( {1 - {a^2} - {b^2}} \right) \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2\]

Vì \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có \[2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}\] (theo AM – GM)

\[ \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + {\left( {a + b} \right)^2} \le 2\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + {\left( {a + b} \right)^2} - 2 \le 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {a + b - 1} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + 2\left( {a + b} \right) + 2} \right] \le 0\]

\[ \Leftrightarrow a + b - 1 \le 0\]( vì \[{\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right) + 2 > 0\] với \(a > 0,b > 0\))

\[ \Leftrightarrow a + b \le 1\].

 Chứng minh bất đẳng thức phụ sau: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)\]        \[\left(  *  \right)\]

Ta có: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] (luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức \[\left(  *  \right)\], ta được:

\[\frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} \Leftrightarrow \frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 4\] (vì \[a + b \le 1\])

Với \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có \[1 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab}  \Rightarrow 1 \ge 4ab \Rightarrow \frac{1}{{2ab}} \ge 2\]

\[ \Rightarrow M = \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} = \left( {\frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}}} \right) + \frac{1}{{2ab}} \ge 4 + 2 \Leftrightarrow M \ge 6\]

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b = \frac{1}{2}\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của \[M\] là \[6\] khi \[a = b = \frac{1}{2}.\]