Một chi tiết máy gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón với các kích thước như hình 1. Biết rằng phần hình trụ có chu vi đáy là \[37,68\,{\rm{cm}}.\] Tính thể tích của chi tiết máy đó (lấy \(\pi  \approx 3,14{\rm{;}}\) kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

a. (1,0 điểm)

  \(A = 6\sqrt 2  - 5\sqrt 2  - \left| {\sqrt 2  - 1} \right|\)

     \( = \sqrt 2  - \sqrt 2  + 1\) (vì \(\sqrt 2  - 1 > 0\)) \[ = 1\]

 Với \[x\; \ge 0,\,\,x \ne 4,\;\,x \ne 9\] ta có :

  \[B = \left[ {\frac{{3\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}} \right]:\frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\sqrt x  - 3}}\]

    \( = \frac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}.\)

b. (0,5 điểm)

Để \(A - 2B = 3\) \( \Leftrightarrow 1 - \frac{2}{{\sqrt x  - 2}} = 3 \Rightarrow \sqrt x  - 2 - 2 = 3\sqrt x  - 6 \Leftrightarrow 2\sqrt x  = 2 \Leftrightarrow \sqrt x  = 1\)

\( \Leftrightarrow x = 1\) (thoả mãn).

Vậy \(x = 1\) thì \(A - 2B = 3.\)

Ta có: \[\]\[{\left( {a + b} \right)^3} = 2\left( {1 - {a^2} - {b^2}} \right) \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2\]

Vì \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có \[2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}\] (theo AM – GM)

\[ \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + {\left( {a + b} \right)^2} \le 2\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + {\left( {a + b} \right)^2} - 2 \le 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {a + b - 1} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + 2\left( {a + b} \right) + 2} \right] \le 0\]

\[ \Leftrightarrow a + b - 1 \le 0\]( vì \[{\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right) + 2 > 0\] với \(a > 0,b > 0\))

\[ \Leftrightarrow a + b \le 1\].

 Chứng minh bất đẳng thức phụ sau: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)\]        \[\left(  *  \right)\]

Ta có: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\] (luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức \[\left(  *  \right)\], ta được:

\[\frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} \Leftrightarrow \frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 4\] (vì \[a + b \le 1\])

Với \(a > 0,\,\,b > 0\) ta có \[1 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab}  \Rightarrow 1 \ge 4ab \Rightarrow \frac{1}{{2ab}} \ge 2\]

\[ \Rightarrow M = \frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} = \left( {\frac{1}{{2ab}} + \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}}} \right) + \frac{1}{{2ab}} \ge 4 + 2 \Leftrightarrow M \ge 6\]

Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b = \frac{1}{2}\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của \[M\] là \[6\] khi \[a = b = \frac{1}{2}.\]