Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thoả mãn \({x_1} + {x_2} = {x_1}{x_2} - 2\).

a)    Chứng minh tứ giác \(AOCD\) nội tiếp.

Ta có \(DA\) và \(DC\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {DAO} = \widehat {DCO} = {90^0}\) (tính chất của tiếp tuyến)

Xét tứ giác \(AOCD\) có \(\widehat {DAO} + \widehat {DCO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà \(\widehat {DAO}\) và \(\widehat {DCO}\) là hai góc đối nhau nên tứ giác \(AOCD\) nội tiếp.

b)    Chứng minh \(CB\) là tia phân giác của \(\widehat {HCF}\).

Xét \(\left( O \right)\) ta có \(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {ACH} + \widehat {BCH} = {90^0}\)

Mà \(\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = {90^0}\) (vì \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\)) nên ta có \(\widehat {BCH} = \widehat {CAH}\)

Lại có \(\widehat {CAH} = \widehat {BCF}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ) nên \(\widehat {BCH} = \widehat {BCF}\)\( \Rightarrow \)\(CB\) là tia phân giác của \(\widehat {HCF}\).

c)    Chứng minh \(AO.AH = 2A{E^2}\).

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DA = DC\\OA = OC\end{array} \right. \Rightarrow DO\) là đường trung trực của \(AC\)

\( \Rightarrow AC = 2AE \Rightarrow A{C^2} = 4A{E^2}\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\), ta có \(AB.AH = A{C^2} \Rightarrow 2AO.AH = A{C^2}\)(Vì \(AB = 2AO\)) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(2AO.AH = 4A{E^2}\)\( \Rightarrow AO.AH = 2A{E^2}\).

d)    Chứng minh \(M\) là trung điểm của \(CH\).

Gọi \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Vì \(CB\) là tia phân giác của \(\widehat {HCF}\) mà \(\widehat {HCF}\) là góc ngoài của \(\Delta DCM\) nên \(CB\) là phân giác ngoài của \(\Delta DCM\) \( \Rightarrow \frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{CD}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Mà \(CD = AD\) nên  \(\frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{AD}}\) (3)

Vì \(CH{\rm{//}}AD\) nên \(\frac{{HM}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{BD}}\) (định lý Talet) (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra \(\frac{{CM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{AD}} \Rightarrow CM = HM \Rightarrow \)\(M\) là trung điểm của \(CH\).