Ông Nam sở hữu một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi \(60\,\,m\). Ông Nam định bán mảnh đất với giá thị trường là \(8\) triệu đồng cho một mét vuông. Hãy xác định giá tiền của mảnh đất đó biết rằng mảnh đất có chiều dài gấp hai lần chiều rộng.

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 + \frac{4}{{{y^2}}}} \right) = 12\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\sqrt {x + 3y + 2}  = 3\sqrt y  + \sqrt {x + 2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Cách 1: Điều kiện \(x \ge  - 2;y > 0\)

Phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4\left( {x + 3y + 2} \right) = 9y + x + 2 + 6\sqrt {y\left( {x + 2} \right)} \)

                           \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x + 3y + 6 = 6\sqrt {y\left( {x + 2} \right)} \\ \Leftrightarrow x + y + 2 = 2\sqrt {y\left( {x + 2} \right)} \\ \Leftrightarrow {\left[ {\left( {x + 2} \right) + y} \right]^2} = 4y\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + 2y\left( {x + 2} \right) + {y^2} = 4y\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} - 2y\left( {x + 2} \right) + {y^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {\left( {x + 2} \right) - y} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow y = x + 2\end{array}\)

Thay \(y = x + 2\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được \({x^2}\left( {1 + \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right) = 12\,\,\, \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2} + 4{x^2} = 12{\left( {x + 2} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^3} + 8{x^2} = 12{x^2} + 48x + 48 \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^3} - 4{x^2} - 48x - 48 = 0\)

\[ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 4} \right)\left( {{x^2} + 6x + 12} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x - 4} \right)\left[ {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + 3} \right] = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0\] \( \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 5 \) hoặc \(x = 1 - \sqrt 5 \) (thoả mãn)

Với \(x = 1 + \sqrt 5  \Rightarrow y = 3 + \sqrt 5 \) (thoả mãn)

Với \(x = 1 - \sqrt 5  \Rightarrow y = 3 - \sqrt 5 \) (thoả mãn)

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 5 \\y = 3 + \sqrt 5 \end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 5 \\y = 3 - \sqrt 5 \end{array} \right.\).

Cách 2: Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\y > 0\end{array} \right.\,\,\,\left( * \right)\)

Phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4\left( {x + 3y + 2} \right) = 9y + x + 2 + 6\sqrt {y\left( {x + 2} \right)} \)

                           \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\left( {x + 3y + 2} \right) = 9y + x + 2 + 6\sqrt {y\left( {x + 2} \right)} \\ \Leftrightarrow 3\left( {x + 2} \right) + 3y = 6\sqrt {y\left( {x + 2} \right)} \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 2}  - \sqrt y } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 2}  = \sqrt y \\ \Leftrightarrow y = x + 2\end{array}\)

Thay \(y = x + 2\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + \frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 12\,\,\,\,\,\,\left( {x \ne  - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{{2x}}{{x + 2}}} \right)^2} = 12 - \frac{{4{x^2}}}{{x + 2}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right)^2} + 4.\left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} = 2\\\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x - 4 = 0\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\{x^2} + 6x + 12 = 0\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải phương trình (3) có hai nghiệm \(x = 1 + \sqrt 5 \); \(x = 1 - \sqrt 5 \).

Với \(x = 1 + \sqrt 5  \Rightarrow y = 3 + \sqrt 5 \) (thoả mãn)

Với \(x = 1 - \sqrt 5  \Rightarrow y = 3 - \sqrt 5 \) (thoả mãn)

Phương trình (4) vô nghiệm

Đối chiếu với điều kiện (*) hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là \(\left( {1 - \sqrt 5 ;3 - \sqrt 5 } \right),\,\left( {1 + \sqrt 5 ;\,3 + \sqrt 5 } \right)\).

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - 1.\left( {{m^2} - 3} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 3 > 0 \Leftrightarrow  - 2m + 4 > 0 \Leftrightarrow  - 2m >  - 4 \Leftrightarrow m < 2\).

Theo hệ thức Viét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 3\end{array} \right.\)

Ta có \({x_1} + {x_2} = {x_1}{x_2} - 2\) \( \Leftrightarrow 2m - 2 = {m^2} - 3 - 2 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\) (1)

Vì \(a - b + c = 1 + 2 - 3 = 0\) nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({m_1} =  - 1\) (thoả mãn) và

\({m_2} = 3\) (loại)

Vậy \(m =  - 1\) là giá trị cần tìm.