Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\). Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(C\) không trùng với \(B\) sao cho \(AC > BC\). Các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(C\) cắt nhau tại \(D\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(AB\), \(E\) là giao điểm của hai đường thẳng \(OD\) và \(AC\).

a)    Chứng minh tứ giác \(AOCD\) nội tiếp.

b)   Gọi \(F\) là giao điểm của hai đường thẳng \(CD\) và \(AB\). Chứng minh \(CB\) là tia phân giác của \(\widehat {HCF}\).

c)    Chứng minh \(AO.AH = 2A{E^2}\).

d)   Gọi \(M\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BD\) và \(CH\). Chứng minh \(M\) là trung điểm của \(CH\).

a)    Chứng minh tứ giác \(AOCD\) nội tiếp.

Ta có \(DA\) và \(DC\) là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {DAO} = \widehat {DCO} = {90^0}\) (tính chất của tiếp tuyến)

Xét tứ giác \(AOCD\) có \(\widehat {DAO} + \widehat {DCO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà \(\widehat {DAO}\) và \(\widehat {DCO}\) là hai góc đối nhau nên tứ giác \(AOCD\) nội tiếp.

b)    Chứng minh \(CB\) là tia phân giác của \(\widehat {HCF}\).

Xét \(\left( O \right)\) ta có \(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {ACH} + \widehat {BCH} = {90^0}\)

Mà \(\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = {90^0}\) (vì \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\)) nên ta có \(\widehat {BCH} = \widehat {CAH}\)

Lại có \(\widehat {CAH} = \widehat {BCF}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ) nên \(\widehat {BCH} = \widehat {BCF}\)\( \Rightarrow \)\(CB\) là tia phân giác của \(\widehat {HCF}\).

c)    Chứng minh \(AO.AH = 2A{E^2}\).

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DA = DC\\OA = OC\end{array} \right. \Rightarrow DO\) là đường trung trực của \(AC\)

\( \Rightarrow AC = 2AE \Rightarrow A{C^2} = 4A{E^2}\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\), ta có \(AB.AH = A{C^2} \Rightarrow 2AO.AH = A{C^2}\)(Vì \(AB = 2AO\)) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(2AO.AH = 4A{E^2}\)\( \Rightarrow AO.AH = 2A{E^2}\).

d)    Chứng minh \(M\) là trung điểm của \(CH\).

Gọi \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Vì \(CB\) là tia phân giác của \(\widehat {HCF}\) mà \(\widehat {HCF}\) là góc ngoài của \(\Delta DCM\) nên \(CB\) là phân giác ngoài của \(\Delta DCM\) \( \Rightarrow \frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{CD}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Mà \(CD = AD\) nên  \(\frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{AD}}\) (3)

Vì \(CH{\rm{//}}AD\) nên \(\frac{{HM}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{BD}}\) (định lý Talet) (4)

Từ (3) và (4) ta suy ra \(\frac{{CM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{AD}} \Rightarrow CM = HM \Rightarrow \)\(M\) là trung điểm của \(CH\).