Trong công viên nước, người ta xây dựng một máng trượt nước dạng một cung tròn. Mô hình hóa trong hệ trục \(Oxyz\)(đơn vị trên mỗi trục là \(1\) mét) với điểm đầu máng trượt là \(A\left( {0;0;12} \right)\), cung tròn đi qua điểm \(B\left( {5;12;5} \right)\)và kết thúc ở điểm \(C\left( {17;5;0} \right)\). Tính độ dài máng trượt đó (kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 0,92.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ.

Ta tìm được \(A'\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\), \(C\left( {1;0;0} \right)\).

\({x_B} = AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\).

\({y_B} = BH = \frac{{AC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \(B\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\).

Do đó \(B'\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right)\) (Do \(B\) là hình chiếu của \(B'\) lên \(\left( {Oxy} \right)\)).

\(A'B\) đi qua điểm \(B\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\) và có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B}  = \left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \sqrt 2 } \right)\).

\(B'C\) đi qua điểm \(C\left( {1;0;0} \right)\) và có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {B'C}  = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1} \right)\).

\(d\left( {A'B,B'C} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'C} } \right] \cdot \overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B} ,\overrightarrow {B'C} } \right]} \right|}} \approx 0,92\).

Chọn a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.

a)  Ta có: \[{x^2} - 4x + 5 > 0\] với \[\forall x \in \mathbb{R}\] nên hàm số đã cho có tập xác định là \[D = \mathbb{R}\].

b) \[y' = \frac{{2x - 4}}{{\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\ln 2}}\].

\[y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\].

Vì \[\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\ln 2 > 0\] với \[\forall x \in \mathbb{R}\]nên:

Với \[x < 2\] thì \[y' < 0\] và \[x > 2\] thì \[y' > 0\] nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm \[x = 2\].

c) Ta có:

\[y\left( 2 \right) = 0\].

\[y\left( 1 \right) = 1\].

\[y\left( {10} \right) = {\log _2}65 > 6\].

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ {1;10} \right]\] bằng \[{\log _2}65\].

d) \[d:y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1\].

Xét phương trình: \[{\log _2}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow A\left( {3;1} \right)\], \[B\left( {1;1} \right)\].

Điểm cực tiểu của \[\left( H \right)\] là \[M\left( {2;0} \right)\].

Ta có:

\[\overrightarrow {MA}  = \left( {1;1} \right)\].

\[\overrightarrow {MB}  = \left( { - 1;1} \right)\].

Vì \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0\] nên tam giác \[AMB\]vuông tại \[M\].