PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều có cạnh bằng 1 và cạnh bên \(AA' = \sqrt 2 \). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(B'C\) (kết quả cuối cùng được làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 33

Minh họa lại và mở rộng mô hình như hình vẽ như dưới đây

Từ dữ kiện của bài toán ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( { - 5; - 12;7} \right)\); \(\overrightarrow {BC}  = \left( {12; - 7; - 5} \right)\); \(\overrightarrow {AC}  = \left( {17;5; - 12} \right)\).

Suy ra: \(BA = BC = \sqrt {218} \;;\;AC = \sqrt {458} \). Có \(\Delta ABC\) cân tại \(B\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp của \(\Delta ABC\) là \(R = \frac{{B{C^2}}}{{2AH}} = \frac{{B{C^2}}}{{2\sqrt {B{A^2} - \frac{{A{C^2}}}{4}} }} = \frac{{218}}{{2\sqrt {218 - \frac{{458}}{4}} }} = \frac{{218}}{{3\sqrt {46} }}\).

Mặt khác \(\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{\left( { - 5} \right).12 + \left( { - 12} \right).\left( { - 7} \right) + 7.\left( { - 5} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2} + {7^2}} .\sqrt {{{12}^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} =  - \frac{{11}}{{218}}\).

Hay \(\cos B =  - \frac{{11}}{{218}}\). Suy ra \(B \approx 1,6213\;\left( {{\rm{rad}}} \right)\).

Vì cung lớn  có số đo \[2B\] nên cung nhỏ  có số đo là

\(\alpha  = 2\pi  - 2B \approx 2\pi  - 2 \cdot 1,6213\)\(\left( {{\rm{rad}}} \right)\).

Vậy máng trượt có độ dài là \(l = \alpha R \approx \left( {2\pi  - 2 \cdot 1,6213} \right).\frac{{218}}{{3\sqrt {46} }} \approx 32,5772\;\left( {\rm{m}} \right) \approx 33\left( {\rm{m}} \right)\).

Chọn a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.

a)  Ta có: \[{x^2} - 4x + 5 > 0\] với \[\forall x \in \mathbb{R}\] nên hàm số đã cho có tập xác định là \[D = \mathbb{R}\].

b) \[y' = \frac{{2x - 4}}{{\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\ln 2}}\].

\[y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\].

Vì \[\left( {{x^2} - 4x + 5} \right)\ln 2 > 0\] với \[\forall x \in \mathbb{R}\]nên:

Với \[x < 2\] thì \[y' < 0\] và \[x > 2\] thì \[y' > 0\] nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm \[x = 2\].

c) Ta có:

\[y\left( 2 \right) = 0\].

\[y\left( 1 \right) = 1\].

\[y\left( {10} \right) = {\log _2}65 > 6\].

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ {1;10} \right]\] bằng \[{\log _2}65\].

d) \[d:y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = 1\].

Xét phương trình: \[{\log _2}\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow A\left( {3;1} \right)\], \[B\left( {1;1} \right)\].

Điểm cực tiểu của \[\left( H \right)\] là \[M\left( {2;0} \right)\].

Ta có:

\[\overrightarrow {MA}  = \left( {1;1} \right)\].

\[\overrightarrow {MB}  = \left( { - 1;1} \right)\].

Vì \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0\] nên tam giác \[AMB\]vuông tại \[M\].