Cho \(A,B\) là hai biến cố xung khắc. Biết \(P(A) = \frac{1}{3},P(B) = \frac{1}{4}\) Tính \(P(A \cup B)\)     

Đáp án: \(15\)

Từ giả thiết, điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\);

Có \(MA = MB\), suy ra \(M\) thuộc mặt phẳng trung trực của \(AB\)là \(\left( Q \right):y + z = 0\);

Suy ra\(M\)thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Ta tìm được đó là đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = t\\z =  - t\end{array} \right.\).

Tham số hóa \(M\left( {1 - 3t;t; - t} \right)\) thì \(\overrightarrow {AM} \left( { - 1 - 3t;t - 2; - t} \right);\overrightarrow {BM} \left( { - 1 - 3t;t; - t + 2} \right)\)

Suy ra \(\cos AMB = \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }}{{MA.MB}} = \frac{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + t\left( {t - 2} \right).2}}{{{{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + {{\left( {t - 2} \right)}^2} + {t^2}}} = \frac{{11{t^2} + 2t + 1}}{{11{t^2} + 2t + 5}} = f\left( t \right)\)

Để góc \(AMB\) lớn nhất thì ta cần \[\cos AMB = f\left( t \right)\] nhỏ nhất.

Khảo sát hàm \(f\left( t \right)\)ta được \(f\left( t \right)\)nhỏ nhất khi và chỉ khi \(t =  - \frac{1}{{11}}\).

Suy ra \(M\left( {\frac{{14}}{{11}}; - \frac{1}{{11}};\frac{1}{{11}}} \right)\). Vậy \(S = 15\).

a) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - x + 2}}{{x - 2}} =  + \infty \)

Do đó, đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là \(x = 2\).

Vậy a) Đúng

b) Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right.\)

BBT

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).         

Vậy b) Sai

c) Ta có \(y = x + 1 + \frac{4}{{x - 2}}\) Þ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{4}{{x - 2}} = 0\)

Suy ra đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận xiên \(y = x + 1\).

Vậy c) Đúng

d) Từ BBT, \(y = m\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi \(\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 7\end{array} \right.\).

Với \(m\) nguyên và \(m \in \left[ {0;2025} \right]\) Þ \(m \in \left\{ {8;9;10;...;2025} \right\}\) Þ Có 2018 số.

Vậy d) Sai