Có bao nhiêu số nguyên \(m\) sao cho bất phương trình \(\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - m} \right)\left( {{x^2} - mx} \right) < 0\) có ít nhất 1 nghiệm nguyên và có không quá 100 nghiệm nguyên?

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xét dấu, giải bất phương trình trên theo tham số \(m\).

Lời giải

Điều kiện xác định của bất phương trình: \(x > 0\).

Xét phương trình \(f\left( x \right) = \left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - m} \right)\left( {{x^2} - mx} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x = m}\\{{x^2} - mx = 0}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {2^m}}\\{x = 0{\rm{\;\;(1)\;}}}\\{x = m}\end{array}} \right.} \right.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {2^x} - x\), có \(g'\left( x \right) = {2^x}{\rm{ln}}2 - 1\). Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{\rm{ln}}2} \right)\).

Có \(g\left( { - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{\rm{ln}}2} \right)} \right) \approx 0,91 \Rightarrow g\left( x \right) > 0\forall x \in R\)

Khi đó, ta chứng minh được \({2^m} > m\forall m \in \mathbb{R}\). Ta có bảng xét dấu:

Với \(m \le 0\):

Khi đó, tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {0;{2^m}} \right)\). Do \({2^m} \le {2^0} = 1\) nên bất phương trình không có nghiệm nguyên.

Với \(m > 0\):

Khi đó, tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {m;{2^m}} \right)\). Với điều kiện \(m\) là số nguyên, số nghiệm nguyên của bất phương trình là \({2^m} - 1 - \left( {m + 1} \right) + 1 = {2^m} - m - 1\).

Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{m \in \mathbb{Z}}\\{0 < {2^m} - m - 1 \le 100}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}} \right.\).

Như vậy, có 5 giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.