Số nghiệm nguyên \(\left( {x,y} \right)\) của phương trình \(2{x^3} - xy + x - 2{x^2}\left( {y - 1} \right) + {y^2} - 2y = 3\) là:

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Phân tích phương trình đã cho thành dạng nhân tử.

Lời giải

Có:

\(\begin{array}{l}2{x^3} - xy + x - 2{x^2}(y - 1) + {y^2} - 2y = 3\\ \Leftrightarrow 2{x^2}(x - y + 1) - xy + {y^2} - y + x - y + 1 = 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2}(x - y + 1) - y(x - y + 1) + x - y + 1 = 4\\ \Leftrightarrow \left( {2{x^2} - y + 1} \right)(x - y + 1) = 4\,\,(1)\end{array}\)

Do \(x,y \in \mathbb{Z}\) nên ta xét 6 trường hợp:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - y + 1 = 1}\\{x - y + 1 = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - x = - 3{\rm{ (vo nghiem) }}}\\{y = x - 3}\end{array}} \right.} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - y + 1 = 2}\\{x - y + 1 = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - x = 0}\\{y = x - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,y = - 1\,\,(TM)}\\{x = \frac{1}{2},y = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{ (L) }}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - y + 1 = 4}\\{x - y + 1 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - x - 3 = 0}\\{y = x}\end{array}} \right.} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1,y = - 1\,\,(TM)}\\{x = \frac{3}{2},y = \frac{3}{2}\,\,(L)}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - y + 1 = - 1}\\{x - y + 1 = - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - x - 3 = 0}\\{y = x + 5}\end{array}} \right.} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1,y = 4\,\,(TM)}\\{x = \frac{3}{2},y = \frac{{13}}{2}\,\,(L)}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - y + 1 = - 2}\\{x - y + 1 = - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - x = 0}\\{y = x + 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,y = 3\,\,(TM)}\\{x = \frac{1}{2},y = \frac{7}{2}{\rm{ (L) }}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - y + 1 = - 4}\\{x - y + 1 = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} - x = - 3{\rm{ (vo}}\,\,{\rm{nghiem) }}}\\{y = x + 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy phương trình trên có 4 nghiệm nguyên \(\left( {x,y} \right)\).