Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + 3\). Hàm số \(y = f\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Tính đạo hàm, xét tính đơn điệu của hàm số

Lời giải

Có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

Có \({[f\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)]} = 2{\rm{cos}}x.f'\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)\).

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{\rm{sin}}x + 3 \ge 1\,\,\forall x \in \mathbb{R}}\\{f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \ge 1}\end{array} \Rightarrow f'\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \right.\), vì vậy nên dấu của \({[f\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)]}\) sẽ phụ thuộc vào dấu của \({\rm{cos}}x\).

Để hàm số \(f\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)\) đồng biến thì \({\rm{cos}}x \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right]\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Trong các khoảng trên, ta thấy có duy nhất \(\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{7\pi }}{3}} \right) \subset \left[ {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{7\pi }}{3}} \right)\).