Nhân dịp 20/11, một chủ khu vườn hoa dự định bán hoa hồng. Ban đầu, chủ khu vườn định bán hoa hồng với giá 20000 đồng một bông, với giá này thì sẽ có bán được khoảng 95000 bông hoa hồng. Biết rằng nếu chủ khu vườn tăng giá bán mỗi bông hoa hồng thì số bông hồng được bán ra sẽ giảm đi, và độ giảm số lượng bông hồng được bán ra tỉ lệ thuận với bình phương độ tăng giá bán. Chủ khu vườn tính rằng nếu bán hoa hồng với giá 25000 đồng một bông thì sẽ thu được 1875000000 đồng từ việc bán hoa hồng. Biết rằng khi chủ cửa hàng chọn giá bán sao cho số tiền thu được từ việc bán hoa hồng là lớn nhất, số bông hồng bán được là \(M\) bông, đồng thời giá bán tối thiểu của một bông hoa là 20000 đồng. Giá trị của \(M\) là:

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Viết biểu thức tính lợi nhuận từ việc bán hoa hồng.

Lời giải

Gọi giá bán của một bông hồng là \(20000 + x\) (đồng) \(\left( {x \ge 0} \right)\). Do độ giảm số lượng bông hồng được bán ra tỉ lệ thuận với bình phương độ tăng giá bán nên khi đó số lượng hoa bán được là \(95000 - k{x^2}\) (bông).

Khi đó, số tiền cửa hàng thu được từ việc bán hoa là

\(S = f\left( x \right) = \left( {20000 + x} \right)\left( {95000 - k{x^2}} \right)\) (đồng).

Có \(f\left( {5000} \right) = 1875000000 \Leftrightarrow 25000\left( {95000 - k{{(5000)}^2}} \right) = 1875000000\)

\( \Leftrightarrow k = \frac{1}{{1250}}\).

Xét \(f\left( x \right) = \left( {\frac{{ - {x^2}}}{{1250}} + 95000} \right)\left( {x + 20000} \right) = \frac{{ - {x^3}}}{{1250}} - 16{x^2} + 95000x + {1900.10^6}\),

có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 3{x^2}}}{{1250}} - 32x + 95000\). Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2500}\\{x = \frac{{ - 47500}}{3}\left( l \right)}\end{array}} \right.\)

Vẽ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 2500\) (đồng), khi đó số bông hồng được bán ra là \(95000 - \frac{{{{2500}^2}}}{{1250}} = 90000\)