Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} - mx}}{{\left| {2x + 1} \right| + 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \({d_1},{d_2}\) là hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\). Giá trị của \(n\) để có duy nhất một giá trị của \(m\) thoả mãn giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) nằm trên đường tròn \({x^2} + {(y - 1)^2} = n\) là:

Đáp án đúng là \({\bf{A}}\)

Phương pháp giải

Tìm quỹ tích của giao điểm.

Lời giải

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \) đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Có đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Có \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - mx}}{{2x + 4}} = \frac{x}{2} - \frac{m}{2} - 1 + \frac{{m + 2}}{{x + 2}}\left( {x \ge \frac{{ - 1}}{2}} \right)}\\{\frac{{{x^2} - mx}}{{ - 2x + 2}} = \frac{{ - x}}{2} + \frac{{m - 1}}{2} + \frac{{m - 1}}{{2x - 2}}\left( {x < \frac{{ - 1}}{2}} \right)}\end{array}} \right.\), khi đó hai tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\) là \({d_1}:y = \frac{x}{2} - \frac{{m + 2}}{2};{d_2} = \frac{{ - x}}{2} + \frac{{m - 1}}{2}\).

Khi đó, xét phương trình hoành độ giao điểm giữa \({d_1}\) và \({d_2}\):

\(\frac{x}{2} - \frac{{m + 2}}{2} = \frac{{ - x}}{2} + \frac{{m - 1}}{2} \Leftrightarrow x = m + \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{x}{2} - \frac{{m + 2}}{2} = \frac{{ - 3}}{4}\)

Khi đó, giao điểm \(M\) của hai tiệm cận xiên luôn nằm trên đường thẳng \(y = \frac{{ - 3}}{4}\). Khi đó, để có duy nhất một giá trị của \(m\) thoả mãn giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) nằm trên đường tròn \({x^2} + {(y - 1)^2} = n\) thì \(d\left( {\left( {0;1} \right);y = \frac{{ - 3}}{4}} \right) = R \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{3}{4}} \right) = \sqrt n \Leftrightarrow n = \frac{{49}}{{16}}\).