Cho hàm số bậc ba \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}f\left( {\frac{x}{3} + 1} \right) + 2\) được cho như hình vẽ dưới đây:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( {{x^4} - 4x + 5} \right)\) là:

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tìm miền giá trị của các hàm bên trong hàm số cần xét.

Lời giải

Đặt \(t = {x^4} - 4x + 5\), có \(t'\left( x \right) = 4{x^3} - 4\). Cho \(t'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Khi đó, lập bảng biến thiên của \(t\left( x \right)\), ta thấy khi đó miền giá trị của \(t\left( x \right)\) là \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

Bài toán đã cho trở về tìm giá trị nhỏ nhất của \(y = f\left( x \right)\) với \(x \in \left[ {2; + \infty } \right)\).

Tuy nhiên, đồ thị hàm số đề bài cho là đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{3}f\left( {\frac{x}{3} + 1} \right) + 2\). Khi đó, ta cần xét trên miền \(x\) sao cho \(\frac{x}{3} + 1 \in \left[ {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow x \in \left[ {3; + \infty } \right)\).

Khi đó, từ đồ thị, ta thấy trên \(\left[ {3; + \infty } \right),y = \frac{1}{3}f\left( {\frac{x}{3} + 1} \right) + 2 \ge 4\). Dấu bằng xảy ra khi \(x = 3\).

Khi đó, ta có \(\frac{1}{3}f\left( {\frac{x}{3} + 1} \right) + 2 \ge 4\forall x \in \left[ {3; + \infty } \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 6\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 6, đạt được khi \({x^4} - 4x + 5 = 2 \Leftrightarrow x = 1\).