Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {3;2;2} \right),C\left( {0;5;1} \right)\). D là điểm nằm trên mặt cầu có phương trình \({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 2)^2} = 4\) sao cho thể tích tứ diện \(ABCD\) bằng 4. Biết quỹ tích điểm \(D\) là một đường tròn có bán kính \(R = \frac{{a\sqrt {154} }}{b}\), với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức \(T = a + b\) bằng:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của điểm \(D\) dựa vào điều kiện thể tích

Lời giải

Có \(\overrightarrow {AB} \left( {2;0;2} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 1;3;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Rightarrow AB \bot AC\). Khi đó, diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC}}{2} = \frac{{2\sqrt 2 .\sqrt {11} }}{2} = \sqrt {22} \).

Ta tìm được phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A,B,C\) là \(3x + 2y - 3z - 7 = 0\).

Do thể tích tứ diện \(ABCD\) bằng \(4 \Rightarrow d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{12}}{{\sqrt {22} }}\). Gọi toạ độ điểm \(D\left( {a;b;c} \right)\), khi đó ta có \(\frac{{\left| {3a + 2b - 3c - 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {22} }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b - 3c - 19 = 0\left( {{P_1}} \right)}\\{3a + 2b - 3c + 5 = 0\left( {{P_2}} \right)}\end{array}} \right.\)

Xét \(D \in \left( {{P_1}} \right)\). Có \(d\left( {I;\left( {{P_1}} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 2.0 - 3.2 - 19} \right|}}{{\sqrt {22} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {22} }} > 2\), khi đó không tồn tại điểm \(D\) thoả mãn.

Xét \(D \in \left( {{P_2}} \right)\). Có \(d\left( {I;\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 2.0 - 3.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {22} }} = \frac{5}{{\sqrt {22} }}\), khi đó quỹ tích điểm \(D\) là đường tròn là giao tuyến của mặt cầu tâm \(I\) và mặt phẳng \({P_2}\), khi đó bán kính của đường tròn đó là \(R = \sqrt {{2^2} - {d^2}\left( {I;\left( {{P_2}} \right)} \right)} = \sqrt {4 - \frac{{25}}{{22}}} = \frac{{3\sqrt {154} }}{{22}}\).