Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 7 + 4t}\\{y = 0}\\{z = t}\end{array}} \right.\). Gọi \(d\) là đường thẳng cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây:

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lập phương trình tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng.

Lời giải

Gọi giao điểm của \(d\) với \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(A\left( {a;a + 3; - a + 5} \right)\) và \(B\left( {7 + 4b;0;b} \right)\).

Có \(\overrightarrow {AB} \left( { - a + 4b + 7; - a - 3;a + b - 5} \right)\). Do \(d\) vuông góc với cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( { - a + 4b + 7} \right) + \left( { - a - 3} \right) - \left( {a + b - 5} \right) = 0}\\{4\left( { - a + 4b + 7} \right) + \left( {a + b - 5} \right) = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3a + 3b + 9 = 0}\\{ - 3a + 17b + 23 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {2;5;3} \right)\) và \(B\left( {3;0; - 1} \right)\) là: \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 5}} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}\).

Kiểm tra các điểm, ta thấy \(d\) đi qua điểm \({M_2}\left( {0; - 5;11} \right)\).