Giả sử trong không gian có một hệ trục toạ độ Oxyz. Có 3 trạm không gian đặt ở 3 vị trí có tọa độ là A(33;27;36); B(17;-5; 4); C(-43; -35; 64) . Người ta cần đặt một trạm phát tín hiệu lên không gian sao cho trạm phát tín hiệu đó cách đều ba trạm không gian. Biết rằng khoảng cách truyền tín hiệu càng xa thì độ chính xác của tín hiệu nhận được tại các trạm không gian càng nhỏ. Hỏi khi độ chính xác của tín hiệu lớn nhất có thể thì khoảng cách từ trạm phát tín hiệu đến các trạm không gian là bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  ___

 

Đáp án đúng là "51"

Phương pháp giải

Tìm phương trình đường thẳng là tập hợp các điểm cách đều ba điểm.

Lời giải

Xét mặt cầu nhận \(I\) (trạm phát tín hiệu) làm tâm, đi qua 3 điểm \(A,B,C\) hình chiếu vuông góc của \(I\) xuống \(\left( {ABC} \right)\) là \(K\).

Khi đó, do \({\rm{\Delta }}IKA = {\rm{\Delta }}IKB = {\rm{\Delta }}IKC\left( {IA = IB = IC} \right) \Rightarrow KA = KB = KC\) nên \(K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Ta tính được \(AB = 48,AC = 102,BC = 90\) suy ra tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), và \(K\) là trung điểm \(AC,AK = \frac{{AC}}{2} = \frac{{102}}{2} = 51\).

Để ý \(IA \ge KA = 51\), dấu bằng xảy ra khi \(I\) trùng \(K\). Khi đó để khoảng cách trạm phát tín hiệu đến trạm không gian là nhỏ nhất thì trạm phát tín hiệu đặt tại \(K\), và khoảng cách cần tính là 51.