Trong không gian, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9\), đồng thời điểm \(M\) có toạ độ \(M\left( {9;3;5} \right)\). Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right),N\) là điểm nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(N,I,M\) không thẳng hàng, \(A\) là điểm có tọa độ \(\left( { - \frac{{37}}{9};\frac{{ - 44}}{9};\frac{{67}}{9}} \right)\). \(K\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IM} = 9\overrightarrow {IK} \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = MN + 3NA\) là:

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng điểm trung gian.

Lời giải

Tính được \(IM = 9 = 3R\).

Gọi \(K\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IM} = 9\overrightarrow {IK} \).

Có \(\overrightarrow {IM} \left( {8;1;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IK} \left( {\frac{8}{9};\frac{1}{9};\frac{4}{9}} \right) \Rightarrow K\left( {\frac{{17}}{9};\frac{{19}}{9};\frac{{13}}{9}} \right)\).

Xét 2 tam giác \(IKN\) và \(INM\) có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{IK}}{{IN}} = \frac{{IN}}{{IM}} = \frac{1}{3}}\\{\widehat {KIN} = \widehat {NIM}}\end{array} \Rightarrow } \right.\) hai tam giác \(IKN\) và \(INM\) đồng dạng.

Do hai tam giác \(IKN\) và \(INM\) đồng dạng nên \(\frac{{NM}}{{KN}} = \frac{{IN}}{{IK}} = 3 \Rightarrow NM = 3KN\)

Khi đó, \(T = 3\left( {KN + NA} \right) \ge 3KA = 3\sqrt {{{\left( {\frac{{17}}{9} + \frac{{37}}{9}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{19}}{9} + \frac{{44}}{9}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{13}}{9} - \frac{{67}}{9}} \right)}^2}} = 33\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T\) là 33.