\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - x - 31}}{{{x^2} - 3x - 10}}\) trên \(\left( {5; + \infty } \right)\) thoả mãn \(F\left( 6 \right) = 9{\rm{ln}}2 + 14\). Biết rằng \(F\left( 8 \right) = a + {\rm{ln}}b\), với \(a,b \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Giá trị của biểu thức \(S = \frac{b}{a}\) là:

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đưa \(f\left( x \right)\) về các hàm sơ cấp có thể lấy được nguyên hàm.

Lời giải

Có \(f\left( x \right) = \frac{{2\left( {{x^2} - 3x - 10} \right) + 2\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right)}} = 2 + \frac{2}{{x - 5}} + \frac{3}{{x + 2}}\)

Do \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) \Rightarrow F\left( x \right) = 2x + 2{\rm{ln}}\left( {x - 5} \right) + 3{\rm{ln}}\left( {x + 2} \right) + C\).

Cho \(F\left( 6 \right) = 9{\rm{ln}}2 + 14 \Leftrightarrow 12 + C + 2{\rm{ln}}1 + 3{\rm{ln}}8 = 9{\rm{ln}}2 + 14 \Leftrightarrow C = 2\).

Khi đó, \(F\left( 8 \right) = 2.8 + 2{\rm{ln}}3 + 3{\rm{ln}}10 + 2 = 18 + {\rm{ln}}\left( {{3^2}{{.10}^3}} \right) = 18 + {\rm{ln}}\left( {9000} \right) \Rightarrow a = 18,b = 9000\)

Vậy \(S = \frac{b}{a} = \frac{{9000}}{{18}} = 500\).