Biết . Ước chung lớn nhất của \(a\) và \(b\) là:

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xét dấu biểu thức bên trong trị tuyệt đối, tách ra tính từng tích phân.

Lời giải

Có:

\(I = \int_1^2 {\left| {\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x + 1}}} \right|} dx + \int_2^3 {\left| {\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x + 1}}} \right|} dx + \int_3^5 {\left| {\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x + 1}}} \right|} dx\)

\(I = \int_1^2 {\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x + 1}}} dx - \int_2^3 {\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x + 1}}} dx + \int_3^5 {\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x + 1}}} dx\)

\(I = \int_1^2 {\left( {x - 6 + \frac{{12}}{{x + 1}}} \right)} dx - \int_2^3 {\left( {x - 6 + \frac{{12}}{{x + 1}}} \right)} dx + \int_3^5 {\left( {x - 6 + \frac{{12}}{{x + 1}}} \right)} dx\)

\(I = \left. {\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 12\ln (x + 1)} \right]} \right|_1^2 - \left. {\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 12\ln (x + 1)} \right]} \right|_2^3 + \left. {\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 12\ln (x + 1)} \right]} \right|_3^5\)

\(I = ( - 10 + 12\ln 3) - \left( { - \frac{{11}}{2} + 12\ln 2} \right) - \left( {\frac{{ - 27}}{2} + 12\ln 4} \right) + ( - 10 + 12\ln 3) + \left( {\frac{{ - 35}}{2} + 12\ln 6} \right) - \left( {\frac{{ - 27}}{2} + 12\ln 4} \right)\)

\(I = - 5 - 12\ln 2 + 24\ln 3 - 24\ln 4 + 12\ln 6\)

\(I = - 5 - 48\ln 2 + 36\ln 3\)

Khi đó, \(a = 48,b = 36 \Rightarrow \left( {a;b} \right) = 12\).