Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \). Biết rằng bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng \(\frac{{9\sqrt 2 }}{8}a\), độ dài cạnh bên lớn hơn độ dài cạnh đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SD\) bằng:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Lời giải

Gọi \(O = AC \cap BD,M\) là trung điểm của \(SC\).

Trong tam giác \(SAC\), dựng đường trung trực của đoạn thẳng \(SC\) tại \(I,I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) có bán kính \(R = SI = \frac{{9\sqrt 2 }}{8}a\).

Vi độ dài cạnh bên lớn hơn độ dài cạnh đáy nên tâm \(I\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thuộc đoạn \(SO\).

Ta gọi \(x\) là độ dài cạnh bên của hình chóp.

Ta dễ thấy \({\rm{\Delta }}SOC\) đồng dạng với \({\rm{\Delta }}SMI\).

Suy ra

\(\frac{{SI}}{{SC}} = \frac{{SM}}{{SO}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{9\sqrt 2 }}{8}a}}{x} = \frac{{\frac{x}{2}}}{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }} \Leftrightarrow 9a\sqrt {{x^2} - {a^2}} = 2\sqrt 2 {x^2} \Leftrightarrow 81{a^2}\left( {{x^2} - {a^2}} \right) = 8{a^4}\)

\( \Leftrightarrow 8{a^4} - 81{a^2}{x^2} + 81{a^4} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\frac{x}{a}} \right)}^2} = 9}\\{{{\left( {\frac{x}{a}} \right)}^2} = \frac{9}{8}}\end{array}} \right.\).

\({\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} = \frac{9}{8}\) không thỏa mãn vì \(x < a\sqrt 2 \).

\({\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow x = 3a\). Suy ra \(SO = {(3a)^2} - {a^2} = 8{a^2}\).

Ta có : \(d\left( {AB;SD} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(CD\), kẻ \(OH \bot SE\), khi đó \(d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{E{O^2}}} = \frac{1}{{8{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{2\sqrt 2 }}{{17}}\).

Suy ra \(d\left( {AB;CD} \right) = 2OH = \frac{{4\sqrt {34} }}{{17}}a\).