Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các điểm \(M\left( {5;\,\,3} \right),N\left( {x;\,\,y} \right),P\left( {x - 4;y + 1} \right).\) Xác định \(x,\,y\) để \(P\) là trung điểm của \(MN\).

Để chọn một đội hình ra sân gồm 11 cầu thủ sao cho Quang Hải và Đức Chinh không cùng có mặt có thể thực hiện theo hai phương án sau:

+ Phương án 1: Chọn Quang Hải hoặc Đức Chinh có 2 cách

Chọn thủ môn có \[C_2^1\] cách

Chọn 9 cầu thủ còn lại có \[C_{26}^9.\]

Theo quy tắc nhân, ta có \[2.C_2^1.C_{26}^9\] cách.

+ Phương án 2: Cả hai đều không ra sân

Chọn thủ môn có \[C_2^1\] cách

Chọn 10 cầu thủ còn lại có \[C_{26}^{10}\]

Theo quy tắc nhân, ta có \[C_2^1.C_{26}^{10}\] cách.

Vậy số cách chọn cần tìm là \[2.C_2^1.C_{26}^9 + C_2^1.C_{26}^{10}\] cách.

a) Ta có \[\overrightarrow {MA}  = \left( { - 2 - x;1 - y} \right)\] và \[\overrightarrow {MB}  = \left( {4 - x;3 - y} \right)\]

Do đó \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \left( {2 - 2x;4 - 2y} \right)\] và \[\overrightarrow v  = \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \left( { - 6; - 2} \right)\].

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 2 + 4}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OI}  = \left( {1;2} \right)\).

Hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {OI} \) cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow u  = k\overrightarrow {OI} ,\,\,\,k \in \mathbb{R},k \ne 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 2x = k.1\\4 - 2y = k.2\end{array} \right. \Rightarrow 4 - 2y = 2\left( {2 - 2x} \right) \Leftrightarrow y = 2x\)

Vậy tập hợp các điểm \(M\) là đường thẳng \[\left( d \right):{\rm{ }}y = 2x\].