Cho hình chữ nhật có chu vi bằng \[30\;cm\]. Nếu chiều rộng tăng thêm \[3\;cm\] và chiều dài giảm đi \[1\;cm\] thì diện tích của hình chữ nhật đó sẽ tăng thêm \[18\;c{m^2}\]. Tính chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật đã cho.

Cho hàm số bậc nhất \[y = 2x + m\], với \[m\] là tham số.

a.      Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên \[\mathbb{R}\]? Vì sao?

b.     Tìm giá trị của \[m\] để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \[A\left( {1;3} \right)\].

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải phương trình \[{x^2} - 3x + 2 = 0\].

Cho biểu thức \[B = \frac{x}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{4}{{\sqrt x }} + \frac{8}{{x + 2\sqrt x }}\], với \[x > 0\].

a.      Rút gọn biểu thức \[B\].

b.     Tính giá trị của biểu thức \[B\] khi \[x = 7 + 4\sqrt 3 \].

Cho tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi \[H\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC\] và \[BD\]. Biết rằng \[\widehat {ABD} = 30^\circ ,\;\widehat {BDC} = 60^\circ \]. Tính số đo của các cung nhỏ \[AD,BC\] và số đo của \[\widehat {BHC}\].

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 3\\2x + y = 7\end{array} \right.\].

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có đường cao \[AH\]. Biết \[AH = 4\;cm\] và \[HC = 3\;cm\]. Tính độ dài các đoạn thẳng \[AC,BC\] và \[AB\].

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\;\left( {AC > AB} \right)\]. Trên tia \[BA\] lấy điểm \[D\] sao cho \[AD = AC\]. Kẻ \[DH\] vuông góc với \[BC\] tại điểm \[H\]. Gọi \[K\] là giao điểm của hai đường thẳng \[DH\] và \[AC\]. Chứng minh rằng

a.      \[\widehat {DHA} = \widehat {DCA}\];

b.     \[AK = AB\].