Cho hình chữ nhật có chu vi bằng \[30\;cm\]. Nếu chiều rộng tăng thêm \[3\;cm\] và chiều dài giảm đi \[1\;cm\] thì diện tích của hình chữ nhật đó sẽ tăng thêm \[18\;c{m^2}\]. Tính chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật đã cho.

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\;\left( {AC > AB} \right)\]. Trên tia \[BA\] lấy điểm \[D\] sao cho \[AD = AC\]. Kẻ \[DH\] vuông góc với \[BC\] tại điểm \[H\]. Gọi \[K\] là giao điểm của hai đường thẳng \[DH\] và \[AC\]. Chứng minh rằng

a.      \[\widehat {DHA} = \widehat {DCA}\];

b.     \[AK = AB\].

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có đường cao \[AH\]. Biết \[AH = 4\;cm\] và \[HC = 3\;cm\]. Tính độ dài các đoạn thẳng \[AC,BC\] và \[AB\].

Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức \[A = \sqrt 2  + \sqrt 8  - \sqrt {18} \].

Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 3\\2x + y = 7\end{array} \right.\].

Cho biểu thức \[B = \frac{x}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{4}{{\sqrt x }} + \frac{8}{{x + 2\sqrt x }}\], với \[x > 0\].

a.      Rút gọn biểu thức \[B\].

b.     Tính giá trị của biểu thức \[B\] khi \[x = 7 + 4\sqrt 3 \].

Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \[\left( O \right)\]. Gọi điểm \[K\] là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \[A\] đến cạnh \[BC\] và \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\]. Gọi \[M\] là điểm đối xứng với điểm \[B\] qua điểm \[K\]. Gọi điểm \[N\] là giao điểm của hai đường thẳng \[HM\] và \[AC\].

a.      Chứng minh rằng bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.

b.     Đường thẳng \[AH\] cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[F\;\left( {F \ne A} \right)\]. Gọi \[P\] là giao điểm của hai đường thẳng \[KN\] và \[BF\]. Chứng minh rằng \[NA.NC = NM.FP\].