Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác họ nghiệm của phương trình $2\sqrt{3} \sin (x - \frac{\mathrm{\pi }}{8}) \cos (x-\frac{\mathrm{\pi }}{8}) + 2{\cos }^2(x - \frac{\mathrm{\pi }}{8}) = \sqrt{3}+1$ có số các điểm biểu diễn là. (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác

Lời giải

\(2\sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right).{\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) = \sqrt 3  + 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 {\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \left[ {1 + {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right] = \sqrt 3  + 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 {\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{2}{\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left[ {\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{\pi }{6}} \right] = {\rm{sin}}\frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = {\rm{sin}}\frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi }\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.\).

Vậy số điểm biểu diễn họ nghiệm của phương trình đã cho là 4.