Người ta đúc một khối bê tông có dạng khối chóp \(ABCD.MNPQ\) cụt tứ giác đều như hình. Cạnh đáy dưới dài \(5m\), cạnh đáy trên dài \(2m\), cạnh bên dài \(3m\). Biết rằng khối bê tông được đúc với giá tiền là 1500000 đồng/m³. Tính số tiền để đúc khối bê tông theo đơn vị đồng (làm tròn đến hàng nghìn).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Thể tích hình chóp cụt

Lời giải

Gọi \(I\) là giao điểm của \(MP\) và \(NQ\), O là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), khi đó \(IO \bot \left( {MNPQ} \right);IO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Khi đó \(IO\) là chiều cao của khối chóp cụt đều.

Ta xét hình thang \(QNBD\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(Q\) lên \(BD,K\) là hình chiếu của \(N\) lên \(BD\).

Mà \(IO \bot BD,QH \bot BD,NK \bot BD\) trong (\(QNBD\)) nên \(IO//QH//NK\).

Ngoài ra ta có \(QH = NK = IO\) và \(QD = NB\). Suy ra \(\Delta QHD = \Delta NKB\) nên ta có \(DH = BK\).

\(DH = \frac{{BD - HK}}{2} = \frac{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} - \sqrt {M{N^2} + M{Q^2}} }}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\left( m \right)\).

Xét tam giác \(QHD\) vuông tại \(H\), có: \(QH = \sqrt {Q{D^2} - H{D^2}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\left( m \right)\).

Diện tích hai đáy: \({S_{ABCD}} = A{B^2} = 25\left( {{m^2}} \right);{S_{MNPQ}} = M{N^2} = 4\left( {{m^2}} \right)\).

Thể tích khối chóp cụt đều

\(V = \frac{1}{3}.OI.\left( {{S_{ABCD}} + \sqrt {{S_{ABCD}}.{S_{MNPQ}}} + {S_{MNPQ}}} \right) = \frac{{39\sqrt 2 }}{2}\left( {{m^3}} \right)\).

Vậy số tiền cần dùng là: \(1500000.\frac{{39\sqrt 2 }}{2} = 41366000\).