Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - z = 0\) và hai điểm \(A\left( {1;2;2} \right)\),\(B\left( {3;4;2} \right)\). Điểm \(H\left( {a,b,c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) và có diện tích nhỏ nhất. Biết \(a > 4\), tính độ dài đoạn \(OH\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;0} \right)}\\{\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)}\end{array} \Rightarrow AB//\left( P \right)} \right.\)

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(AB\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)

Ta kẻ \(HK \bot AB \Rightarrow {S_{ABM}} = \frac{1}{2}.AB.HK\), suy ra diện tích tam giác \(ABH\) nhỏ nhất khi \(HK\) nhỏ nhất \( \Rightarrow M\) nằm trên giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

\({\vec n_{\left( Q \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;{{\vec n}_{\left( P \right)}}} \right] = \left( { - 1;1;2} \right)\)

Suy ra \( - x + y + 2z - 5 = 0\)

Ta xét \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - z = 0}\\{ - x + y + 2z - 5 = 0}\end{array} \Rightarrow H \in \left( {\rm{\Delta }} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = t - 5}\\{z = 5}\end{array}} \right.} \right.\).

Suy ra \(H\left( {t;t - 11;8} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AH} = \left( {t - 1;t - 7;3} \right)}\\{\overrightarrow {BH} = \left( {t - 3;t - 9;3} \right)}\end{array}} \right.\)

Mà tam giác \(ABH\) vuông tại \(H \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{10 - \sqrt {14} }}{2}}\\{t = \frac{{10 + \sqrt {14} }}{2}}\end{array}} \right.\)

Vì \(a > 4\) nên \(t = \frac{{10 + \sqrt {14} }}{2} \Rightarrow H\left( {\frac{{10 + \sqrt {14} }}{2};\frac{{20 + \sqrt {14} }}{2};5} \right)\)

Vậy \(OH \approx 14,6\).