A. Trắc nghiệm

Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho một đường thẳng \(\Delta \) và một điểm \(F\) không thuộc \(\Delta \). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF = d\left( {M,\Delta } \right)\) là

Lời giải

Giả sử \(\Delta \) cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right),a > 0,b > 0\)\( \Rightarrow \Delta :\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Vì \(\Delta \) đi qua \(M\left( { - 2;2} \right) \Rightarrow \frac{{ - 2}}{a} + \frac{2}{b} = 1\) (1).

Mà \({S_{\Delta ABO}} = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{{ab}}{2} = 1 \Leftrightarrow ab = 2 \Rightarrow b = \frac{2}{a}\left( 2 \right)\).

Thay \(\left( 2 \right)\) vào (1) ta được \(\frac{{ - 2}}{a} + \frac{2}{{\frac{2}{a}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{a} + a = 1 \Leftrightarrow {a^2} - a - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\a = 2\end{array} \right. \Rightarrow a = 2\).

Với \(a = 2 \Rightarrow b = 1\). Do đó \(\Delta :\frac{x}{2} + \frac{y}{1} = 1\).

Lời giải

a) Đường thẳng \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Có \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({d_1}\).

Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \({d_1}\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x + 2} \right) + 2y = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2 = 0\).

c) Có \(\overrightarrow {EF}  = \left( {4; - 1} \right)\).

Có \(\overrightarrow {{n_{EF}}}  = \left( {1;4} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {EF}  = \left( {4; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{EF}}}  = \left( {1;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(EF\).

Phương trình đường thẳng \(EF\) là \(\left( {x + 3} \right) + 4\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 4y - 13 = 0\).

Tọa độ điểm \(K\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 13 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{3}\\y = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow K\left( { - \frac{1}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).

Ta có \(KE = \sqrt {{{\left( { - 3 + \frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt {17} }}{3}\); \(KF = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {3 - \frac{{10}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).

Vậy \(\frac{{KE}}{{KF}} = 2\).

d) Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và có \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(a\left( {x + 2} \right) + by = 0 \Leftrightarrow ax + by + 2a = 0\).

Vì đường thẳng qua \(M\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) cân tại \(A\) nên góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và \({d_2}\) bằng góc giữa đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\Delta ,{d_2}} \right) = \cos \left( {{d_1},{d_2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2 \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 5 \left| {a + b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 5ab + 2{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{2}b\\a =  - 2b\end{array} \right.\).

TH1: \(a =  - \frac{1}{2}b\). Chọn \(b =  - 2 \Rightarrow a = 1\). Khi đó \(\Delta :x - 2y + 2 = 0\) (chọn).

TH2: \(a =  - 2b\). Chọn \(b =  - 1 \Rightarrow a = 2\). Khi đó \(\Delta :2x - y + 4 = 0\) (loại).

Vậy \({a^2} - 5{b^2} =  - 19\).

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;   c) Đúng;    d) Đúng.