Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2022x\) mang dấu âm trên khoảng nào sau đây ?

Do \(BH\) là đường cao nên \(AC \bot BH\) nên đường thẳng \(AC\)có một vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {{u_{AC}}}  = \overrightarrow {{n_{BH}}}  = \left( {5; - 2} \right)\).

Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AC\) là: \(\overrightarrow {{n_{AC}}}  = \left( {2;5} \right)\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) có phương trình là:

\(2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y - 8 = 0\).

Do đường thẳng \(AC\) giao đường thẳng \(CM\) tại \(C\) nên tọa độ của \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 8 = 0\\5x + 7y - 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\).

Đặt tọa độ điểm \(B\left( {a;b} \right)\). Do \(B \in BH\) nên \(5a - 2b - 4 = 0\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên\(M\left( {\frac{{ - 1 + a}}{2};\frac{{2 + b}}{2}} \right) \in CM\)

\( \Leftrightarrow 5.\frac{{ - 1 + a}}{2} + 7.\frac{{2 + b}}{2} - 20 = 0 \Leftrightarrow 5a + 7b - 31 = 0\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}5a - 2b - 4 = 0\\5a + 7b - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {2;3} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) có vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 3} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0\).

Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu 500 m/s, hợp với phương ngang một góc bằng 45° nên ta có:

\(g = 9,8\) m/s2; \({v_0} = 500\)m/s; \(\alpha  = 45^\circ \).

Phương trình chuyển động của viên đạn là:

\(y = \left( {\frac{{ - 9,8}}{{{{2.500}^2}.{{\cos }^2}45^\circ }}} \right){x^2} + x\left( {\tan 45^\circ } \right) = \frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x\).

Để viên đạn bay qua một ngọn núi cao 4 000 mét thì

\(y = \frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x > 4\,\,000\)\( \Rightarrow \frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x - 4\,000 > 0\).

Xét phương trình bậc hai \(\frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x - 4\,000 = 0\) có:

\(a = \frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}} < 0\)

\(\Delta  = {1^2} - 4.\left( {\frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}}} \right).( - 4\,\,000) = \frac{{233}}{{625}} > 0\)

Do đó, phương trình bậc hai \(\frac{{ - 9,8}}{{250000}}{x^2} + x - 4000 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1}\) ≈ 20 543; \({x_2}\) ≈ 4 967.

Do đó, \(\frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x - 4\,\,000 > 0\) \( \Leftrightarrow \) 4 967 < \(x\) < 20 543.

Vậy khẩu pháo phải đặt cách chân núi trong khoảng từ 4 967 m đến 20 543 m (tất nhiên là phải tính đến tầm bắn của khẩu pháo nữa) thì viên đạn sẽ bay qua đỉnh núi.