Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "3"

Phương pháp giải

Giải bất phương trình logarit.

Lời giải

Điều kiện: \(y > 0\).

Ta có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {{x^2} + {y^2} + 14y} \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}y + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} + {y^2} + 16y} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} + 14y}}{y}} \right) \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {\frac{{{x^2} + {y^2} + 16y}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {14 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{y}} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {1 + \frac{{16y}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) \le 0\) (*)

Đặt \(t = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{y} > 0\)

Phương trình (*) trở thành \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {14 + t} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {t + \frac{{16}}{t}} \right) \le 0\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {14 + t} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {t + \frac{{16}}{t}} \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{\left( {14 + t} \right){\rm{ln}}4}} + \frac{{16}}{{\left( {{t^2} + 16t} \right){\rm{ln}}3}} > 0,\forall t > 0\).

Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Ta có \(f\left( 2 \right) = 0\), suy ra \(f\left( t \right) \le 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) \le f\left( 2 \right) \Leftrightarrow t \le 2 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{y} \le 2\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {(y - 1)^2} \le 1\) (1)

Bất phương trình (1) biểu diễn một hình tròn tâm \(I\left( {0;1} \right)\) và bán kính \(R = 1\)

Theo giả thiết ta có \(P = \frac{{6 - 3y}}{{x + y + 1}} \Leftrightarrow d:Px + \left( {P + 3} \right)y + P - 6 = 0\) (2)

Phương trình (2) có nghiệm khi

\(d\left( {I;d} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {2P - 3} \right|}}{{\sqrt {{P^2} + {{(P + 3)}^2}} }} \le 1 \Leftrightarrow {(2P - 3)^2} \le {P^2} + {(P + 3)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{P^2} - 6P \le 0 \Leftrightarrow 0 \le P \le 3\)

Vậy \({P_{{\rm{max\;}}}} = 3\)