Để tính đường kính và diện tích của một miệng giếng nước có dạng hình tròn, người ta tiến hành đo tại ba vị trí A, B,C trên thanh giếng. Kết quả đo được là BC = 6m, $\widehat{BAC }= 150°$như hình dưới. Hỏi diện tích miệng giếng là bao nhiêu mét vuông? (nhập kết quả vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

 

Đáp án:  ____

 

Đáp án đúng là "2640"

Phương pháp giải

Tính giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Gọi \(x,y\) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hình hộp.

Điều kiện: \(x > 0;y > 0\left( m \right)\).

Ta có thể tích của khối hộp: \(V = 1xy = 400 \Rightarrow xy = 400 \Rightarrow y = \frac{{400}}{x}\left( {{m^3}} \right)\).

Diện tích mặt đáy: \({S_d} = xy = x.\frac{{400}}{x} = 400\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Giá tiền để làm mặt đáy là: \(400.4000000 = {16.10^8}\) (đồng).

Diện tích xung quanh của bể cá: \({S_{xq}} = 2.x.1 + 2.y.1 = 2.\left( {x + y} \right) = 2.\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right)\).

Giá tiền để làm mặt bên là: \(2.\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right).3000000 = {6.10^6}.\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right)\).

Tổng chi phí để xây dựng bể cá là:

\(T\left( x \right) = {6.10^6}.\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right) + {24.10^8} \ge {6.10^6}.2\sqrt {x.\frac{{400}}{x}}  + {24.10^8} \approx 2640{\rm{\;}}\) (triệu đồng).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Lời giải

Ta có: \(\Delta ABD\) cân tại \(A\) và \(\widehat {BAC} = {60^ \circ } \Rightarrow \Delta ABD\) đều \( \Rightarrow AO = OC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác đều \(ABD\). Do \(AA' = A'B = A'D \Rightarrow A'G \bot \left( {ABCD} \right)\).

Khi đó góc hợp bởi \(AA'\) với mặt đáy là \(\widehat {A'AG} = {60^ \circ }\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AC}\\{BD \bot A'G}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {A'ACC'} \right) \Rightarrow BD \bot CC'} \right.\).

Gọi \(O = AC \cap BD\). Từ \(O\) kẻ \(OK \bot CC'\left( {K \in CC'} \right)\). Khi đó \(OK\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(BD,CC' \Rightarrow OK = d\left( {BD,CC'} \right)\).

Xét hình bình hành \(AA'C'C\), ta có: \(\widehat {A'AG} = \widehat {ACK} = {60^ \circ }\).

\(\sin \widehat {ACK} = \frac{{OK}}{{OC}} \Rightarrow OK = OC.\sin {60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\).