Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phân giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100.000 đồng (một trăm nghìn đồng). Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây?

Đáp án đúng là "2640"

Phương pháp giải

Tính giá trị nhỏ nhất

Lời giải

Gọi \(x,y\) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hình hộp.

Điều kiện: \(x > 0;y > 0\left( m \right)\).

Ta có thể tích của khối hộp: \(V = 1xy = 400 \Rightarrow xy = 400 \Rightarrow y = \frac{{400}}{x}\left( {{m^3}} \right)\).

Diện tích mặt đáy: \({S_d} = xy = x.\frac{{400}}{x} = 400\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Giá tiền để làm mặt đáy là: \(400.4000000 = {16.10^8}\) (đồng).

Diện tích xung quanh của bể cá: \({S_{xq}} = 2.x.1 + 2.y.1 = 2.\left( {x + y} \right) = 2.\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right)\).

Giá tiền để làm mặt bên là: \(2.\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right).3000000 = {6.10^6}.\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right)\).

Tổng chi phí để xây dựng bể cá là:

\(T\left( x \right) = {6.10^6}.\left( {x + \frac{{400}}{x}} \right) + {24.10^8} \ge {6.10^6}.2\sqrt {x.\frac{{400}}{x}}  + {24.10^8} \approx 2640{\rm{\;}}\) (triệu đồng).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Lời giải

Ta có: \(\Delta ABD\) cân tại \(A\) và \(\widehat {BAC} = {60^ \circ } \Rightarrow \Delta ABD\) đều \( \Rightarrow AO = OC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác đều \(ABD\). Do \(AA' = A'B = A'D \Rightarrow A'G \bot \left( {ABCD} \right)\).

Khi đó góc hợp bởi \(AA'\) với mặt đáy là \(\widehat {A'AG} = {60^ \circ }\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AC}\\{BD \bot A'G}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {A'ACC'} \right) \Rightarrow BD \bot CC'} \right.\).

Gọi \(O = AC \cap BD\). Từ \(O\) kẻ \(OK \bot CC'\left( {K \in CC'} \right)\). Khi đó \(OK\) là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng \(BD,CC' \Rightarrow OK = d\left( {BD,CC'} \right)\).

Xét hình bình hành \(AA'C'C\), ta có: \(\widehat {A'AG} = \widehat {ACK} = {60^ \circ }\).

\(\sin \widehat {ACK} = \frac{{OK}}{{OC}} \Rightarrow OK = OC.\sin {60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\).