Có 6 thanh thép, trong đó 3 thanh có độ dài \(3m\), 3 thanh có độ dài \(3\sqrt 2 m\). Người ta hàn các đầu của thanh thép đó với nhau một cách phù hợp sao cho chúng tạo thành các cạnh của một tứ diện \(ABCD\), trong đó \(AB = AC = AD = 3m\).

Để trang trí cho các thanh thép, người ta định sử dụng một sợi dây đèn led xuất phát từ điểm \(A\), sau đó lần lượt mắc qua các điểm \(M,N,P\) thuộc cạnh \(BD,BC,CD\) và cuối cùng quay trở lại điểm A (như hình vẽ)

Độ dài ngắn nhất có thể của sợi dây khi đó là bao nhiêu?

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp trải phẳng.

Lời giải

Dễ thấy \(ABCD\) là hình chóp có \(AB = AC = AD = 3m;AB,AC,AD\) đôi một vuông góc.

Trải phẳng hai mặt \(\left( {ABD} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) sao cho chúng nằm trên cùng một mặt phẳng với mặt \(\left( {BCD} \right)\) như hình vẽ.

Khi đó, độ dài của sợi dây cần tính là

\(L = {A_1}M + MN + NP + P{A_2}\).

Có \(L = \left( {{A_1}M + MN} \right) + \left( {NP + P{A_2}} \right) \ge {A_1}N + N{A_2}\)

Lấy điểm \(E\) đối xứng với điểm \({A_1}\) qua đường thẳng \(BC\). Khi đó \({A_1}N + N{A_2} = EN + N{A_2} \ge E{A_2}\).

Như vậy, độ dài của sợi dây nhỏ nhất là \(E{A_2}\) khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{N = BC \cap E{A_2}}\\{M = {A_1}N \cap BD}\\{P = {A_2}N \cap CD}\end{array}} \right.\)

Có \(\widehat {{A_1}BH} = {180^ \circ } - \widehat {{A_1}BD} - \widehat {DBC} = {180^ \circ } - {45^ \circ } - {60^ \circ } = {75^ \circ } \Rightarrow {A_1}H = {A_1}B.{\rm{sin}}{75^0}\)

\( = 3{\rm{sin}}{75^0}\)

\( \Rightarrow {A_1}E = 2{A_1}H = 6{\rm{sin}}{75^ \circ }\)

Có \(\widehat {{A_1}D{A_2}} = \widehat {{A_1}DB} + \widehat {BDC} + \widehat {CD{A_2}} = {45^0} + {60^ \circ } + {45^ \circ } = {150^ \circ }\)

\( \Rightarrow {A_1}{A_2} = \sqrt {{A_1}{D^2} + {A_2}{D^2} - 2{A_1}D.{A_2}D.{\rm{cos}}{{150}^0}} = \sqrt {18 - 18{\rm{cos}}{{150}^ \circ }} = 6{\rm{sin}}{75^0}\)

\( \Rightarrow E{A_2} = \sqrt {{A_1}A_2^2 + {A_1}{E^2}} = 6\sqrt 2 .{\rm{sin}}{75^0} = 3\sqrt 3 + 3 \approx 8,2\left( {\rm{m}} \right)\)