Một chất điểm ở vị trí đỉnh A của hình lập phương ABCD. A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác dụng bởi ba lực $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ lần lượt cùng phương với các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC\text{'}}$và có độ lớn lần lượt là $10N, 10N, 10\sqrt{3}N$. Khi đó chất điểm di chuyển trên đường thẳng AK với K là điểm thuộc đoạn thẳng CC'. Biết  Tính giá trị của biểu thức $t= m^2 +m$.(nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Biểu thức tọa độ của vectơ.

Lời giải

Đặt hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) vào hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(O\) trùng \(A,B\) thuộc trục \(Ox,D\) thuộc trục \(Oy,A'\) thuộc trục \(Oz\) và \(B\left( {1;0;0} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {AC'}  = \left( {1;1;1} \right)\) và \(AB = 1,AD = 1,AC' = \sqrt 3 \).

Vì \(K\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(CC'\) nên \(K\left( {1;1;k} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AK}  = \left( {1;1;k} \right)\).

Chất điểm di chuyển trên đường thẳng \(AK\) khi chịu tác dụng bởi ba lực \(\vec a,\vec b,\vec c\) lần lượt cùng phương với các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC'} \) nên \(x\overrightarrow {AB}  + y\overrightarrow {AD}  + z\overrightarrow {AC'}  = t\overrightarrow {AK} (x,y,z > 0)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + z = t}\\{y + z = t}\\{z = kt}\end{array}} \right.\)

Ba lực \(\vec a,\vec b,\vec c\) có độ lớn lần lượt là \(10N,10N,10\sqrt 3 N\) nên:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {x.\overrightarrow {AB} } \right| = 10}\\{\left| {y.\overrightarrow {AD} } \right| = 10}\\{\left| {z.\overrightarrow {AC'} } \right| = 10\sqrt 3 }\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 10.}\\{z = 10}\end{array}} \right.} \right.\)

Do đó \(t = x + z = 10 + 10 = 20\) và \(k = \frac{z}{t} = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}\). Suy ra \(K\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)\) nên \[\overrightarrow {CK}  = \left( {0;0;\frac{1}{2}} \right)\]

Ta có \(\overrightarrow {CC'}  = \left( {0;0;1} \right)\) mà \(\overrightarrow {CC'}  = m.\overrightarrow {CK} \) nên \(m = 2\).

Vậy \(T = {m^2} + m = {2^2} + 2 = 6\).