Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :2x - y + 4 = 0\) là

a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\).

b) Ta có \(d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \).

c) Đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( { - 2;0} \right),B\left( {0;2} \right)\).

Khi đó \({S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\).

d) Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\) và trục \(Ox\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {d,Ox} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 0 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {d,Ox} \right) = 45^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

Vì đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( { - 1;2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\) nên \(\Delta \) có dạng \(2\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(2x - 3y + 8 = 0\).

Vì \(\Delta \) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) nên \(A\left( { - 4;0} \right);B\left( {0;\frac{8}{3}} \right)\).

Khi đó \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3} \approx 5,33\).

Trả lời: 5,33.