Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] có đồ thị \[y = f'\left( x \right)\] như hình vẽ bên.

Đặt \[g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {\left( {x - 1} \right)^2}\]. Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = g\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { - 3\,;\,3} \right]\] bằng

Ta có: \[g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {x - 1} \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]\].

Vẽ đường thẳng \[y = x - 1\] cùng với đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] trên cùng một hệ trục tọa độ.

Ta có: \[g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên của hàm \[g\left( x \right)\] trên \[\left[ { - 3\,;\,3} \right]\]:

\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3\,;\,3} \right]} g\left( x \right) = \min \left\{ {g\left( { - 3} \right)\,;\,g\left( 3 \right)} \right\}\].

Gọi \[{S_1}\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right)\], \[y = x - 1\], \[x = - 3\], \[x = 1\].

Gọi \[{S_2}\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right)\], \[y = x - 1\], \[x = 1\], \[x = 3\].

Ta có \[{S_1} > {S_2} \Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} > \int\limits_1^3 {\left[ {\left( {x - 1} \right) - f'\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\int\limits_{ - 3}^1 {g'\left( x \right){\rm{d}}x} > \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {\left[ { - g'\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \]

\[ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^1 {g'\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^3 {g'\left( x \right){\rm{d}}x} > 0 \Leftrightarrow \int\limits_{ - 3}^3 {g'\left( x \right){\rm{d}}x} > 0 \Leftrightarrow \left. {g\left( x \right)} \right|_{ - 3}^3 > 0\]

\[ \Leftrightarrow g\left( 3 \right) - g\left( { - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow g\left( 3 \right) > g\left( { - 3} \right)\]\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3\,;\,3} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 3} \right)\]. Chọn D.