Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz,\] cho hình thang cân \[ABCD\] có các đáy lần lượt là \[AB,\,\,CD\]. Biết \(A\left( {3\,;\,\,1\,;\,\, - 2} \right),\,\,B\left( { - 1\,;\,\,3\,;\,\,2} \right),\,\,C\left( { - 6\,;\,\,3\,;\,\,6} \right)\) và \(D\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}.\) Giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\) bằng:

Cách 1. Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 4\,;\,\,2\,;\,\,4} \right),\,\,\overrightarrow {CD} = \left( {a + 6\,;\,\,b - 3\,;\,\,c - 6} \right)\].

Do \[ABCD\] là hình thang cân có các đáy là \[AB,\,\,CD\] nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD\), tức là hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương hay \(\frac{{a + 6}}{{ - 2}} = \frac{{b - 3}}{1} = \frac{{c - 6}}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \frac{{ - a}}{2}}\\{c = - a}\end{array}} \right.\). Vậy \(D\left( {a\,;\,\,\frac{{ - a}}{2}\,;\,\, - a} \right).\)

Lại có \(AC = BD \Leftrightarrow A{C^2} = B{D^2} \Leftrightarrow {\left( { - 9} \right)^2} + {2^2} + {8^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{2} + 3} \right)^2} + {\left( {a + 2} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 4a - 60 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}\\{a = - 10}\end{array}} \right.\).

Với \(a = - 10 \Rightarrow D\left( { - 10\,;\,\,5\,;\,\,10} \right).\) Kiểm tra thấy: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) (loại).

Vớí \(a = 6 \Rightarrow D\left( {6\,;\,\, - 3\,;\,\, - 6} \right).\) Kiểm tra thấy: \(\left( { - 3} \right) \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} .\) Do đó \(T = a + b + c = 6 - 3 - 6 = - 3.\)

Cách 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\].

Gọi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\], suy ra mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm \(I\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,0} \right)\) của đoạn thẳng AB và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( { - 2\,;\,\,1\,;\,\,2} \right)\), suy ra phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \( - 2x + y + 2z = 0\).

Vì \[C,\,\,D\] đối xứng nhau qua mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên \(D\left( {6\,;\,\, - 3\,;\,\, - 6} \right)\).

\[ \Rightarrow a = 6\,;\,\,b = - 3\,;\,\,c = - 6 \Rightarrow T = a + b + c = - 3\]. Chọn A.