Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z = 1\). Gọi \(N\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(\left( P \right)\). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(MN\) là:

Cách 1. Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1;3; - 1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 - 2t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Gọi \(N\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(\left( P \right)\), ta có \[N\left( {1 + t;3 - 2t; - 1 + 2t} \right)\].

Thay tọa độ \(N\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta được \(9t - 8 = 0\)\[ \Leftrightarrow t = \frac{8}{9}\]\[ \Rightarrow N\left( {\frac{{17}}{9};\frac{{11}}{9};\frac{7}{9}} \right)\].

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\), khi đó ta có \(I\left( {\frac{{13}}{9};\frac{{19}}{9};\frac{{ - 1}}{9}} \right)\).

Do mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn \(MN\).

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(MN\) đi qua \(I\left( {\frac{{13}}{9};\frac{{19}}{9}; - \frac{1}{9}} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) là \(x - 2y + 2z + 3 = 0\).

Cách 2. Lấy \(K\left( {1;0;0} \right) \in \left( P \right)\), gọi \(E\left( {1;\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\) là trung điểm \(MK.\) Mặt phẳng cần tìm đi qua \(E\) và có cùng vectơ pháp tuyến với \(\left( P \right)\) nên có phương trình:

\(\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - \frac{3}{2}} \right) + 2\left( {z + \frac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2{\rm{z}} + 3 = 0\). Chọn A.